Théorème 5Ordinaux, cardinaux

Ordinal de Hartogs

Énoncé

Pour tout ensemble $A$ , il existe un ordinal qui ne s'injecte pas dans $A$ . Le plus petit d'entre eux, l'ordinal de Hartogs $h(A)$ , est l'ensemble des ordinaux qui s'injectent dans $A$ . La démonstration n'utilise pas l'axiome du choix.

Démonstration

Soit $W$ l'ensemble des couples $(B, R)$ où $B \subset A$ et où $R \subset B \times B$ est un bon ordre sur $B$ ; il existe par séparation dans ${\mathcal P}(A) \times \mathcal P(A \times A)$ . Chacun a un type d'ordre (Type d'ordre), et par remplacement, l'ensemble $H$ de ces types existe.

Un ordinal $\alpha$ appartient à $H$ si et seulement s'il s'injecte dans $A$ . En effet, si $f : \alpha \to A$ est injective, l'ordre de $\alpha$ transporté sur $f(\alpha)$ est un bon ordre de type $\alpha$ ; réciproquement, si $(B, R) \in W$ a pour type $\alpha$ , la réciproque de l'isomorphisme de $B$ sur $\alpha$ , suivie de l'inclusion de $B$ dans $A$ , est une injection de $\alpha$ dans $A$ .

Si $\alpha \in H$ et $\beta < \alpha$ , alors $\beta \subset \alpha$ s'injecte dans $A$ , donc $\beta \in H$ : l'ensemble $H$ est un ensemble transitif d'ordinaux, donc un ordinal. Comme $H \notin H$ , l'ordinal $H$ ne s'injecte pas dans $A$ , et tout ordinal plus petit, élément de $H$ , s'y injecte.

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Remarque

Ce théorème remplace, sans choix, l'argument naïf « on énumère les éléments de $A$ jusqu'à épuisement ». Il fournit un ordinal assez long pour qu'une énumération de $A$ indexée par lui doive s'arrêter : c'est le ressort des théorèmes de Zermelo et de Zorn, qui suivent.

Repose sur

Tout bon ordre est isomorphe à un unique ordinal

Sert à

Théorème de Zermelo Lemme de Zorn Il n'y a pas de plus grand cardinal