Proposition 5Ordinaux, cardinaux

Il n'y a pas de plus grand cardinal

Énoncé

Pour tout cardinal $\kappa$ , l'ordinal de Hartogs $h(\kappa)$ est un cardinal strictement supérieur à $\kappa$ . La démonstration n'utilise pas l'axiome du choix.

Démonstration

$\kappa$ s'injecte dans lui-même, donc $\kappa \in h(\kappa)$ (Hartogs), soit $\kappa < h(\kappa)$ . Si $h(\kappa)$ était équipotent à un ordinal $\beta < h(\kappa)$ , alors $\beta$ , qui s'injecte dans $\kappa$ , ferait s'injecter $h(\kappa)$ dans $\kappa$ , ce qui est exclu. Donc $h(\kappa)$ est un cardinal.

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Remarque

Le théorème de Cantor donne une autre preuve, mais seulement sous l'axiome du choix, qui assure que ${\mathcal P}(\kappa)$ a un cardinal ; $h(\kappa)$ est en revanche toujours le cardinal suivant $\kappa$ . L'égalité entre ces deux cardinaux, pour $\kappa = \aleph_0$ , est l'hypothèse du continu, indépendante de $\mathsf{ZFC}$ (Gödel, 1938 ; Cohen, 1963).

Repose sur

Ordinal de Hartogs Cardinaux

Sert à

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