Cardinaux

Lemme. Toute partie $X$ d'un ordinal $\beta$ a un type d'ordre $\gamma \leqslant \beta$.

En effet, soit $f : \gamma \to X$ l'isomorphisme ; montrons $f(\delta) \geqslant \delta$ pour tout $\delta < \gamma$, par induction. Si c'est vrai au-dessous de $\delta$, alors pour $\varepsilon < \delta$, on a $$\varepsilon \leqslant f(\varepsilon) < f(\delta),$$ donc $\varepsilon \in f(\delta)$ ; ainsi $\delta \subset f(\delta)$, c'est-à-dire $\delta \leqslant f(\delta)$.

Si l'on avait $\beta < \gamma$, il viendrait $f(\beta) \geqslant \beta$, alors que $f(\beta) \in X \subset \beta$.

(i) Un bon ordre sur $A$ a un type $\alpha$, équipotent à $A$ (Type d'ordre). L'ensemble des $\beta \leqslant \alpha$ équipotents à $A$ est non vide ; son plus petit élément $\kappa$ est le plus petit ordinal équipotent à $A$, car tout ordinal équipotent à $A$ et plus petit que $\kappa$ serait aussi $\leqslant \alpha$.

Si $\kappa$ était équipotent à un ordinal $\beta < \kappa$, $\beta$ le serait à $A$ : $\kappa$ est un cardinal.

(ii) Si $A \approx B$, les ordinaux équipotents à $A$ et à $B$ sont les mêmes (Équipotence), donc $|A| = |B|$. Réciproquement, $A \approx |A| = |B| \approx B$.

(iii) Si $|A| \leqslant |B|$, l'inclusion $|A| \subset |B|$ (Comparaison des ordinaux) donne $A \preccurlyeq B$. Réciproquement, une injection de $A$ dans $B$ fournit une injection de $|A|$ dans $|B|$, d'image $X$ ; par le lemme, $X$ a un type $\gamma \leqslant |B|$, et $|A| \approx \gamma$ donne $|A| \leqslant \gamma \leqslant |B|$ par minimalité de $|A|$.

(iv) Un ordinal $\alpha$ est bien ordonné, et $|\alpha| \leqslant \alpha$ par minimalité, $\alpha$ étant équipotent à lui-même. Si $\alpha$ est un cardinal, l'ordinal $|\alpha|$, équipotent à $\alpha$, ne peut lui être strictement inférieur, donc $|\alpha| = \alpha$ (Comparaison des ordinaux). Réciproquement, si $|\alpha| = \alpha$, alors $\alpha$ est un cardinal par (i). Enfin, si un cardinal $\kappa$ est équipotent à $A$, il est bien ordonné, et (ii) donne $|A| = |\kappa|$, qui vaut $\kappa$ par ce qui précède.