Théorème 9Ordinaux, cardinaux

Comparabilité des ensembles ⋆

⋆ Axiome du choix

La comparabilité de deux ensembles quelconques est équivalente, dans $\mathsf{ZF}$ , à l'axiome du choix.

Énoncé

Dans $\mathsf{ZF}$ , l'axiome du choix équivaut à l'énoncé : pour tous ensembles $A$ et $B$ , on a $A \preccurlyeq B$ ou $B \preccurlyeq A$ .

Démonstration

Sous l'axiome du choix, $A$ et $B$ peuvent être bien ordonnés (Théorème de Zermelo), et les ordinaux $|A|$ et $|B|$ sont comparables (Comparaison des ordinaux) ; le nœud Cardinal conclut.

Réciproquement, soit $A$ un ensemble. Son ordinal de Hartogs $h(A)$ ne s'injecte pas dans $A$ (Hartogs) ; par comparabilité, $A$ s'injecte dans $h(A)$ . Le bon ordre de $h(A)$ , transporté sur $A$ par cette injection, est un bon ordre de $A$ , et le théorème de Zermelo donne l'axiome du choix.

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Remarque

Avec le théorème de Cantor-Bernstein, qui n'utilise pas le choix, la relation $\preccurlyeq$ devient, sous l'axiome du choix, un ordre total sur les tailles d'ensembles. Que la comparabilité entraîne l'axiome du choix est dû à Hartogs (1915).

Repose sur

Théorème de Zermelo Cardinaux

Sert à

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