Théorème de Zermelo ⋆

Le bon ordre entraîne le choix. Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'ensembles non vides, et $\leqslant$ un bon ordre sur $\bigcup_i A_i$. L'application $i \mapsto \min A_i$ est une fonction de choix, définie sans aucun choix arbitraire ; on conclut par la forme (iii) du nœud Formes de l'axiome du choix.

Le choix entraîne le bon ordre. Soit $A$ un ensemble et $c$ une fonction de choix sur la famille des parties non vides de $A$, donnée par la même forme.

Pour tout ensemble $f$, posons $$G(f) = c(A \setminus f')$$ si $f$ est une application de domaine un ordinal, au sens du nœud Récursion transfinie, d'image $f'$, et si cette différence est non vide, et $G(f) = A$ sinon ; comme $A \notin A$ (Pas de x ∈ x), cette valeur sert de marque d'arrêt. Soit $F$ définie sur l'ordinal de Hartogs $h(A)$ par récursion transfinie, $$F(\alpha) = G(F|_\alpha),$$ et notons $F[\alpha]$ l'image de $F|_\alpha$.

Tant que $F(\alpha) \neq A$, l'élément $F(\alpha)$ appartient à $A \setminus F[\alpha]$ : il diffère des $F(\beta)$, $\beta < \alpha$. Si l'on avait $F(\alpha) \neq A$ pour tout $\alpha < h(A)$, $F$ serait donc une injection de $h(A)$ dans $A$, ce qu'exclut le théorème de Hartogs.

Soit $\alpha$ le plus petit ordinal tel que $F(\alpha) = A$. Alors $F|_\alpha$ est injective et à valeurs dans $A$, et $F(\alpha) = A$ signifie $A \setminus F[\alpha] = \varnothing$ : $F|_\alpha$ est une bijection de $\alpha$ sur $A$. L'ordre de $\alpha$, transporté par cette bijection, est un bon ordre sur $A$.