Théorème 1Relations, fonctions

Formes de l'axiome du choix ⋆

⋆ Axiome du choix

Ce théorème ne démontre pas l'axiome du choix : il établit, dans $\mathsf{ZF}$ seul, que trois énoncés sont équivalents. Comme l'axiome du choix (Axiome du choix), chacun d'eux est donc indémontrable dans $\mathsf{ZF}$ , si celle-ci est cohérente.

Énoncé

Dans $\mathsf{ZF}$ , les énoncés suivants sont équivalents :

(i) l'axiome du choix sous la forme de Zermelo : pour tout ensemble $\mathcal F$ d'ensembles non vides deux à deux disjoints, il existe un ensemble $C$ qui rencontre chaque élément de $\mathcal F$ en exactement un point ;

(ii) toute surjection admet une section ;

(iii) pour toute famille $(A_i)_{i \in I}$ d'ensembles non vides, le produit $\prod_{i \in I} A_i$ est non vide : il existe une fonction de choix $g$ , avec $g(i) \in A_i$ pour tout $i$ .

Démonstration

(i) ⇒ (ii). Soit $f : A \to B$ surjective. Les fibres $f^{-1}(\{b\})$ , pour $b \in B$ , sont non vides par surjectivité et deux à deux disjointes, puisqu'un élément $a$ n'appartient qu'à la fibre de $f(a)$ . Elles forment un ensemble $\mathcal F$ , obtenu par séparation dans ${\mathcal P}(A)$ .

Soit $C$ donné par (i). Pour chaque $b \in B$ , l'ensemble $C \cap f^{-1}(\{b\})$ a exactement un élément ; la relation $\{(b, a) \in B \times A : a \in C,\ f(a) = b\}$ est donc le graphe d'une application $s : B \to A$ , et $f(s(b)) = b$ .

Au-dessus de chaque point de

B

, la fibre de

f

est non vide, mais peut avoir plusieurs éléments entre lesquels rien ne permet de désigner un. Les points dorés forment l'ensemble

C

fourni par l'axiome du choix, qui rencontre chaque fibre en un seul point ; la section

s

, en or, remonte de chaque

b

vers ce point.

(ii) ⇒ (iii). Soit $U = \bigcup_{i \in I} A_i$ et $E = \{(i, a) \in I \times U : a \in A_i\}$ . L'application $q : E \to I$ , $(i, a) \mapsto i$ , est surjective puisque chaque $A_i$ est non vide. Soit $s$ une section de $q$ . Pour $i \in I$ , le couple $s(i)$ s'écrit $(i', a)$ avec $i' = q(s(i)) = i$ et $a \in A_i$ ; on pose $g(i) = a$ . Alors $g$ appartient au produit.

(iii) ⇒ (i). Soit $\mathcal F$ comme dans (i). La famille $(X)_{X \in \mathcal F}$ , c'est-à-dire l'identité de $\mathcal F$ , est une famille d'ensembles non vides ; soit $g$ une fonction de choix, et $C = g(\mathcal F)$ .

Pour $X \in \mathcal F$ , on a $g(X) \in C \cap X$ . Si $c \in C \cap X$ , alors $c = g(Y)$ pour un $Y \in \mathcal F$ , et $c \in X \cap Y$ ; les éléments de $\mathcal F$ étant deux à deux disjoints, $Y = X$ et $c = g(X)$ . L'ensemble $C$ rencontre donc $X$ en exactement un point.

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Remarque

La forme (iii) est la plus employée. Elle est démontrable sans axiome du choix dans des cas particuliers : si $I$ est fini, par la récurrence sur les parties de $I$ (Ensembles finis, sans les entiers, (ii)), chaque pas prolongeant une application par une seule valeur, ou si l'on dispose d'une règle explicite, par exemple si chaque $A_i$ est une partie non vide d'un ensemble bien ordonné, où l'on prend le plus petit élément (Structures d'ordre).

Remarque

Le choix intervient dans la preuve de (i) ⇒ (ii) au seul endroit où il le doit : pour une surjection, plusieurs antécédents sont possibles, et rien ne permet d'en désigner un. Pour une injection, au contraire, la rétraction se construit sans choix (nœud précédent).

Repose sur

Bijection réciproque, rétractions et sections Familles et produit d'une famille Axiomes de ZF

Sert à

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