Définition 4Relations, fonctions

Familles et produit d'une famille

Énoncé

Une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments d'un ensemble $X$ , indexée par $I$ , est une application $x : I \to X$ , avec $x_i = x(i)$ . Pour une famille $(A_i)_{i \in I}$ d'ensembles, on pose $\bigcup_{i \in I} A_i = \bigcup x(I)$ et, si $I$ est non vide, $\bigcap_{i \in I} A_i = \bigcap x(I)$ .

Le produit de la famille est l'ensemble $\begin{aligned} \prod_{i \in I} A_i = \Big\{&g \in \Big(\bigcup_{i \in I} A_i\Big)^{I} : \\ &\forall i \in I,\ g(i) \in A_i\Big\}. \end{aligned}$ Pour $j \in I$ , la projection $p_j : \prod_{i \in I} A_i \to A_j$ est l'application $g \mapsto g(j)$ .

Remarque

Une famille diffère de l'ensemble de ses valeurs : elle peut répéter un même élément sous deux indices, et elle est ordonnée par ses indices. On parle ainsi de la famille $(A, A)$ indexée par une paire, alors que $\{A, A\} = \{A\}$ .

Remarque

Le produit est un ensemble, obtenu par séparation dans $\big(\bigcup_i A_i\big)^I$ . Pour $I = \varnothing$ , il a un unique élément, l'application vide. Lorsque $I$ est une paire $\{\alpha, \beta\}$ avec $\alpha \neq \beta$ , tout couple $(a, b)$ de $A_\alpha \times A_\beta$ est l'image par $g \mapsto (g(\alpha), g(\beta))$ d'un unique élément $g$ du produit, celui qui vaut $a$ en $\alpha$ et $b$ en $\beta$ , puisqu'une application de $I$ est déterminée par ses deux valeurs : les deux notions de produit coïncident à cette identification près.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire évident que le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide. Pour une famille quelconque, c'est exactement l'axiome du choix (nœud suivant). La topologie produit, au nœud Topologie produit, est définie sur cet ensemble.

Repose sur

Images directes et réciproques

Sert à

Formes de l'axiome du choix