Proposition 6Structures topologiques

Topologie produit

Énoncé

Soit $(X_i)_{i \in I}$ une famille d'espaces topologiques et $X = \prod_{i \in I} X_i$ leur produit, de projections $p_i$ .

Les cylindres ouverts $\prod_i U_i$ , où chaque $U_i$ est ouvert dans $X_i$ et où l'ensemble des indices $i$ tels que $U_i \neq X_i$ est fini, forment la base d'une topologie, la topologie produit.

Les projections sont continues, et une application $f : Z \to X$ est continue si et seulement si toutes les $p_i \circ f$ le sont.

Démonstration

Les cylindres ouverts vérifient le critère des bases (Bases d'une topologie) : $X$ est lui-même un cylindre, et l'intersection de deux cylindres $\prod_i U_i$ et $\prod_i V_i$ est le cylindre $\prod_i (U_i \cap V_i)$ . En effet, un indice $i$ tel que $U_i \cap V_i \neq X_i$ vérifie $U_i \neq X_i$ ou $V_i \neq X_i$ : ces indices forment une partie de la réunion de deux parties finies de $I$ , finie (Ensembles finis, sans les entiers, (iii) et (i)).

Pour $U$ ouvert dans $X_j$ , $p_j^{-1}(U)$ est le cylindre de facteur $U$ en $j$ et $X_i$ ailleurs : $p_j$ est continue. Si $f$ est continue, les $p_i \circ f$ le sont par composition.

Réciproquement, soit $\prod_i U_i$ un cylindre, et $J$ l'ensemble fini des indices $j$ tels que $U_j \neq X_j$ . Si $J$ est vide, le cylindre est $X$ , d'image réciproque $Z$ . Sinon, $f^{-1}\Big(\prod_i U_i\Big) = \bigcap_{j \in J} (p_j \circ f)^{-1}(U_j)$ est l'intersection d'un ensemble d'ouverts, fini comme image de $J$ (Ensembles finis, sans les entiers, (iv)) et non vide : c'est un ouvert (Espace topologique). On conclut par le point (iv) de la proposition sur la continuité (Applications continues).

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Remarque

La restriction à un nombre fini de facteurs différents de $X_i$ est ce qui rend vraie la propriété universelle. Les produits $\prod_i U_i$ quelconques forment la base d'une autre topologie, dite des boîtes, plus fine, pour laquelle elle échoue en général.

Un point du produit est une famille

(x_i)_{i \in I}

, dessinée comme la ligne qui joint les points

x_i

des facteurs ; le cylindre de fenêtres

U_2

U_4

U_5

ne contraint que les indices de

J = \{2, 4, 5\}

. La famille rouge lui appartient, la famille grise non, car

x'_4 \notin U_4

, bien qu'elle traverse

U_2

U_5

; une boîte pourrait porter une fenêtre sur chacun des facteurs, en nombre infini.

Remarque

Sans l'axiome du choix, on ne peut pas démontrer que $\prod_i X_i$ est non vide lorsque chaque $X_i$ l'est, et il existe des modèles de $\mathsf{ZF}$ où un tel produit est vide : affirmer qu'il ne l'est jamais est exactement l'axiome du choix.

Repose sur

Critère pour une base Continuité Relations, fonctions

Sert à

Espaces séparés Le produit de deux compacts est compact