Espace topologique

Soit $\mathcal G \subset \mathcal T$ un ensemble fini. Appliquons la récurrence sur les parties d'un ensemble fini (Ensembles finis, sans les entiers, (ii)) à la formule « $\mathcal B$ est vide, ou $\bigcap \mathcal B \in \mathcal T$ », de variable $\mathcal B$. Elle est vraie pour $\mathcal B = \varnothing$. Si elle l'est pour $\mathcal B \subset \mathcal G$ et si $U \in \mathcal G \setminus \mathcal B$, l'intersection $\bigcap (\mathcal B \cup \{U\})$ vaut $U$ si $\mathcal B$ est vide, et $(\bigcap \mathcal B) \cap U$ sinon : c'est un ouvert dans les deux cas, par (iii). La formule est donc vraie pour $\mathcal G$.

De même, pour un ensemble fini $\mathcal H$ de fermés, la formule « $\bigcup \mathcal B$ est fermé » est vraie pour $\mathcal B = \varnothing$, puisque $\bigcup \varnothing = \varnothing$ est le complémentaire de l'ouvert $X$. Si elle l'est pour $\mathcal B \subset \mathcal H$ et si $F \in \mathcal H$, le complémentaire de $(\bigcup \mathcal B) \cup F$ est $(X \setminus \bigcup \mathcal B) \cap (X \setminus F)$, intersection de deux ouverts : la formule est vraie pour $\mathcal B \cup \{F\}$, donc pour $\mathcal H$.