Proposition 3Structures topologiques

Critère pour une base

Énoncé

Une base d'une topologie $\mathcal T$ est une partie $\mathcal B \subset \mathcal T$ telle que tout ouvert soit réunion d'éléments de $\mathcal B$ . Une partie $\mathcal B \subset {\mathcal P}(X)$ est la base d'une topologie sur $X$ si et seulement si :

(a) $\bigcup \mathcal B = X$ ;

(b) pour tous $B_1, B_2 \in \mathcal B$ et tout $x \in B_1 \cap B_2$ , il existe $B_3 \in \mathcal B$ tel que $x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2$ .

Cette topologie est alors l'ensemble $\mathcal T_{\mathcal B}$ des réunions d'éléments de $\mathcal B$ .

Démonstration

Les conditions sont nécessaires : $X$ est un ouvert, donc réunion d'éléments de $\mathcal B$ , et $B_1 \cap B_2$ est un ouvert, donc réunion d'éléments de $\mathcal B$ , dont l'un contient $x$ .

Réciproquement, $\mathcal T_{\mathcal B}$ contient $\varnothing$ (réunion vide) et $X$ par (a), et il est stable par réunion.

Pour l'intersection, soit $U = \bigcup_i B_i$ et $V = \bigcup_j C_j$ ; alors $U \cap V = \bigcup_{i,j} (B_i \cap C_j).$ Par (b), chaque $B_i \cap C_j$ est la réunion de tous les éléments de $\mathcal B$ qu'il contient, donc appartient à $\mathcal T_{\mathcal B}$ , et $U \cap V$ aussi.

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Repose sur

Espace topologique

Sert à

Continuité Topologie produit