Bijection réciproque, rétractions et sections

(i) Supposons $f$ bijective. La relation réciproque $\{(b, a) \in B \times A : f(a) = b\}$ est le graphe d'une application $g : B \to A$, puisque tout $b$ a exactement un antécédent ; $g(b)$ est cet antécédent. Alors $f(g(b)) = b$, et $g(f(a)) = a$ puisque $a$ est l'unique antécédent de $f(a)$.

Réciproquement, si un tel $g$ existe, $f$ est injective et $g$ surjective par le point (ii) du nœud Injections, surjections, bijections appliqué à $g \circ f = \mathrm{id}_A$, et $f$ est surjective par le même point appliqué à $f \circ g = \mathrm{id}_B$. Les hypothèses étant symétriques en $f$ et $g$, $g$ est aussi bijective.

Si $g'$ vérifie aussi $f \circ g' = \mathrm{id}_B$, alors, par associativité, $$g = g \circ (f \circ g') = (g \circ f) \circ g' = g'.$$

Enfin $(f^{-1} \circ f'^{-1}) \circ (f' \circ f) = \mathrm{id}_A$ et $(f' \circ f) \circ (f^{-1} \circ f'^{-1}) = \mathrm{id}$, par associativité ; l'unicité donne la formule annoncée.

(ii) Si $r \circ f = \mathrm{id}_A$ est injective, $f$ l'est. Réciproquement, soit $f$ injective et $a_0 \in A$. La relation $$\begin{aligned} \{(b, a) \in B \times A :\ &f(a) = b,\ \text{ou} \\ &(b \notin f(A) \text{ et } a = a_0)\} \end{aligned}$$ est le graphe d'une application $r$ : un $b \in f(A)$ a un unique antécédent par injectivité, et un $b \notin f(A)$ est associé au seul $a_0$. Par construction, $r(f(a)) = a$.

(iii) Tout $b \in B$ s'écrit $b = f(s(b))$.