Application

Une application $f : A \to B$ est un triplet $(A, B, \Gamma)$ où $\Gamma$ est une relation de $A$ vers $B$ telle que, pour tout $a \in A$, il existe un unique $b \in B$ vérifiant $(a, b) \in \Gamma$. Cet élément est noté $f(a)$ ; $A$ est l'ensemble de départ, $B$ l'ensemble d'arrivée, $\Gamma$ le graphe de $f$.

Par la propriété des triplets, deux applications sont égales si et seulement si elles ont mêmes ensembles de départ et d'arrivée et même graphe ; par extensionnalité, cela revient à dire qu'elles ont mêmes ensembles de départ et d'arrivée et prennent la même valeur en tout point, puisque le graphe est l'ensemble des couples $(a, f(a))$. L'ensemble des applications de $A$ dans $B$ est noté $B^A$.

L'identité de $A$ est l'application $\mathrm{id}_A : A \to A$ de graphe $\{(a, a) : a \in A\}$. Pour $X \subset A$, la restriction de $f$ à $X$ est l'application $f|_X : X \to B$ de graphe $\Gamma \cap (X \times B)$ ; on dit aussi que $f$ prolonge $f|_X$.