Proposition 3Relations, fonctions

Composition des applications

Soient $f : A \to B$ et $g : B \to C$ . La composée $g \circ f : A \to C$ est l'application de graphe $\begin{aligned} \{(a, c) \in A \times C :\ &\exists b \in B,\ f(a) = b \\ &\text{et } g(b) = c\}. \end{aligned}$

Énoncé

La composée $g \circ f$ est une application, et $(g \circ f)(a) = g(f(a))$ pour tout $a \in A$ . La composition est associative, au sens où $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ pour toute application $h : C \to D$ , et les identités sont neutres : $f \circ \mathrm{id}_A = f = \mathrm{id}_B \circ f$ .

Démonstration

Pour $a \in A$ , le seul $b$ possible est $f(a)$ , puis le seul $c$ possible est $g(f(a))$ : il existe donc un unique $c$ tel que $(a, c)$ appartienne au graphe, à savoir $g(f(a))$ .

Les deux applications $h \circ (g \circ f)$ et $(h \circ g) \circ f$ ont mêmes ensembles de départ et d'arrivée, et prennent en $a$ la même valeur $h(g(f(a)))$ ; elles sont donc égales. De même, $f \circ \mathrm{id}_A$ et $\mathrm{id}_B \circ f$ prennent en $a$ la valeur $f(a)$ .

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Remarque

La composée $g \circ f$ n'est définie que si l'ensemble d'arrivée de $f$ est l'ensemble de départ de $g$ . La composition n'est pas commutative : même lorsque $f \circ g$ et $g \circ f$ sont toutes deux définies, elles n'ont en général ni le même ensemble de départ ni la même valeur.

Repose sur

Application

Sert à

Injections, surjections, bijections