Proposition 4Relations, fonctions

Injections, surjections, bijections

Une application $f : A \to B$ est une injection si $f(a) = f(a')$ entraîne $a = a'$ ; une surjection si $f(A) = B$ , c'est-à-dire si tout $b \in B$ a au moins un antécédent ; une bijection si elle est injective et surjective, c'est-à-dire si tout $b \in B$ a exactement un antécédent.

Dans chaque diagramme, une flèche va de chaque élément de

A

à son image. Les défauts sont en rouge : un élément de

B

sans antécédent empêche la surjectivité, deux flèches aboutissant au même point empêchent l'injectivité ; dans une bijection, chaque élément de

B

reçoit exactement une flèche.

Énoncé

Soient $f : A \to B$ et $g : B \to C$ .

(i) Si $f$ et $g$ sont injectives (resp. surjectives, bijectives), $g \circ f$ l'est aussi.

(ii) Si $g \circ f$ est injective, $f$ est injective. Si $g \circ f$ est surjective, $g$ est surjective.

(iii) Si $f$ est surjective et si $h \circ f = k \circ f$ pour deux applications $h, k : B \to D$ , alors $h = k$ .

Démonstration

(i) Si $g(f(a)) = g(f(a'))$ , l'injectivité de $g$ donne $f(a) = f(a')$ , puis celle de $f$ donne $a = a'$ . Si $c \in C$ , il s'écrit $g(b)$ par surjectivité de $g$ , puis $b = f(a)$ par surjectivité de $f$ , donc $c = (g \circ f)(a)$ . Le cas bijectif réunit les deux.

(ii) Si $f(a) = f(a')$ , alors $g(f(a)) = g(f(a'))$ , d'où $a = a'$ . Si $c \in C$ , il s'écrit $g(f(a))$ ; il a donc l'antécédent $f(a)$ par $g$ .

(iii) Tout $b \in B$ s'écrit $f(a)$ , et $h(b) = h(f(a)) = k(f(a)) = k(b)$ .

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Remarque

Le point (iii) dit qu'une surjection est simplifiable à droite. C'est ce qui garantit l'unicité des applications obtenues par passage au quotient, plus bas.

Remarque

Une injection d'un ensemble dans lui-même n'est pas toujours surjective. Soit $I$ un ensemble inductif et $\sigma : I \to I$ , $x \mapsto x \cup \{x\}$ . Si $x \cup \{x\} = y \cup \{y\}$ avec $x \neq y$ , l'appartenance $x \in y \cup \{y\}$ donne $x \in y$ , et de même $y \in x$ , ce qu'exclut Aucun ensemble n'appartient à lui-même : $\sigma$ est injective. Elle n'atteint pas $\varnothing$ , puisque $\sigma(x)$ contient $x$ .

Repose sur

Composition des applications Images directes et réciproques

Sert à

Bijection réciproque, rétractions et sections Passage au quotient et décomposition canonique