Théorème 2Relations, fonctions

Passage au quotient et décomposition canonique

Énoncé

(i) Soit $\sim$ une relation d'équivalence sur $E$ et $f : E \to F$ une application constante sur chaque classe : $x \sim y$ entraîne $f(x) = f(y)$ . Il existe une unique application $\bar f : E/\!\sim \to F$ telle que $\bar f \circ \pi = f$ . Elle est injective si et seulement si $f(x) = f(y)$ entraîne $x \sim y$ .

$\begin{CD} E @>{f}>> F \\ @V{\pi}VV @| \\ E/\!\sim @>{\bar f}>> F \end{CD}$ Dans ce carré, les deux chemins qui vont de $E$ à $F$ donnent la même application : c'est l'égalité $\bar f \circ \pi = f$ .

(ii) Toute application $f : A \to B$ se décompose en $f = \iota \circ \tilde f \circ \pi$ , où $\pi$ est l'application canonique de $A$ sur $A/\!\sim_f$ , pour la relation $x \sim_f y \iff f(x) = f(y)$ , puis $\tilde f : A/\!\sim_f \to f(A)$ est une bijection et $\iota : f(A) \to B$ l'inclusion.

$\begin{CD} A @>{f}>> B \\ @V{\pi}VV @AA{\iota}A \\ A/\!\sim_f @>{\tilde f}>> f(A) \end{CD}$ Le chemin qui descend par la surjection $\pi$ , traverse par la bijection $\tilde f$ et remonte par l'inclusion $\iota$ redonne $f$ .

Démonstration

(i) La relation $\begin{aligned} \{(C, b) \in (E/\!\sim) \times F :\ &\exists x \in C, \\ &f(x) = b\} \end{aligned}$ est le graphe d'une application. En effet, toute classe $C$ est non vide, donc a au moins une image ; et si $x, y \in C$ , alors $x \sim y$ , donc $f(x) = f(y)$ : l'image est unique. Cette application $\bar f$ vérifie $\bar f(\overline x) = f(x)$ , c'est-à-dire $\bar f \circ \pi = f$ .

Si $\bar g$ vérifie aussi $\bar g \circ \pi = f$ , alors $\bar g = \bar f$ , car $\pi$ est surjective et donc simplifiable à droite (Injections, surjections, bijections).

L'égalité $\bar f(\overline x) = \bar f(\overline y)$ s'écrit $f(x) = f(y)$ , et $\overline x = \overline y$ s'écrit $x \sim y$ . L'injectivité de $\bar f$ est donc exactement la condition annoncée.

(ii) La relation $\sim_f$ est une relation d'équivalence, puisque l'égalité est réflexive, symétrique et transitive. L'application $f$ , vue comme application de $A$ dans $f(A)$ , est constante sur les classes. Par (i), elle passe au quotient en $\tilde f$ , injective puisque $f(x) = f(y)$ est la définition de $x \sim_f y$ , et surjective puisque tout élément de $f(A)$ s'écrit $f(x) = \tilde f(\overline x)$ . Enfin $\iota(\tilde f(\pi(x))) = f(x)$ .

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Remarque

La définition de $\bar f$ ne choisit aucun représentant : le graphe est décrit en une fois, pour tous les éléments de chaque classe. Lorsqu'on écrit « $\bar f(\overline x) = f(x)$ », l'erreur la plus répandue est d'oublier de vérifier que le membre de droite ne dépend pas du représentant $x$ , ce qui est précisément l'hypothèse de (i).

Repose sur

Relations d'équivalence et partitions Injections, surjections, bijections

Sert à

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