Aucun ensemble n'appartient à lui-même

Appliquons l'axiome de fondation au singleton $\{x\}$ : son seul élément $x$ ne doit avoir aucun élément dans $\{x\}$, donc $x \notin x$.

Appliquons-le à la paire $\{x, y\}$ : l'un de ses éléments n'a aucun élément dans $\{x, y\}$. Si c'est $x$, alors $y \notin x$ ; si c'est $y$, alors $x \notin y$.