AxiomeAxiomes de ZF

Axiome de fondation

La relation $\in$ est donc bien fondée : il n'existe pas de « descente infinie » $\cdots \in x_2 \in x_1 \in x_0$ formant un ensemble. Cet axiome ne sert presque jamais en mathématiques usuelles, mais il simplifie la théorie des ordinaux.

Énoncé

Tout ensemble $A$ qui a un élément possède un élément $x$ dont aucun élément n'appartient à $A$ : $\begin{aligned} \forall A\, \Big[&\exists y\, (y \in A) \Rightarrow \exists x\, \big(x \in A \\ &\wedge \forall z\, (z \in x \Rightarrow z \notin A)\big)\Big]. \end{aligned}$

Remarque

Comme celui de l'infini, l'axiome est écrit dans le langage pur, l'intersection et l'ensemble vide n'étant introduits qu'après lui. Avec les notations des nœuds Ensemble vide et Opérations booléennes, il se lit : tout ensemble non vide $A$ possède un élément $x$ tel que $x \cap A = \varnothing$ .

Repose sur

Langage de ZF

Sert à

Aucun ensemble n'appartient à lui-même