Définition 1Axiomes de ZF

Langage de ZF

Énoncé

Le langage de $\mathsf{ZF}$ est le langage du premier ordre égalitaire dont le seul symbole non logique est un symbole de relation binaire $\in$ . Une formule y est construite à partir des formules atomiques $x \in y$ et $x = y$ par les connecteurs et les quantificateurs $\forall x$ , $\exists x$ , où $x$ parcourt les ensembles.

Remarque

Les notations usuelles sont des abréviations. Ainsi $x \subset y$ abrège $\forall z\, (z \in x \Rightarrow z \in y)$ , et $y = \{x \in A : \varphi(x)\}$ abrège $\forall x\, (x \in y \Leftrightarrow (x \in A \wedge \varphi(x)))$ . On ne sort jamais du langage : on le rend lisible.

Dans ce graphe et les suivants, $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ désignent, à l'intérieur des formules, les connecteurs $\to$ et $\leftrightarrow$ du langage (Connecteurs), et $x \notin y$ abrège $\neg(x \in y)$ .

Repose sur

Logique du premier ordre

Sert à

Axiome d'extensionnalité Schéma de séparation Schéma de remplacement Axiome de l'infini Axiome de fondation Axiome du choix (ZFC)