ATLAS
Ouvrir dans l'atlas →Théorie
Ordinaux, cardinaux ⋆
Le lemme de Zorn, le théorème de Zermelo, selon lequel tout ensemble peut être bien ordonné, et la comparabilité de deux ensembles quelconques équivalent chacun, dans , à l'axiome du choix ; ces équivalences sont démontrées ici. Le lemme de l'ultrafiltre, que le lemme de Zorn entraîne, est strictement plus faible que l'axiome du choix (Halpern et Lévy, 1971).
Un ordinal est un ensemble transitif bien ordonné par . Tout bon ordre est isomorphe à un unique ordinal, par un unique isomorphisme.
Un cardinal est un ordinal qui n'est équipotent à aucun ordinal strictement plus petit. Sous l'axiome du choix, tout ensemble est équipotent à un unique cardinal ; sans lui, la comparaison des tailles de deux ensembles quelconques n'est plus garantie.