Premières propriétés des ordinaux

(i) Soit $x \in \alpha$. Par transitivité de $\alpha$, $x \subset \alpha$, et $\in$ est sur $x$ la restriction d'un bon ordre strict, donc un bon ordre strict.

Il reste à voir que $x$ est transitif : si $z \in y \in x$, alors $y \in \alpha$ et $z \in \alpha$ par transitivité de $\alpha$, appliquée deux fois ; $z$, $y$, $x$ sont donc trois éléments de $\alpha$ avec $z \in y \in x$, d'où $z \in x$, l'ordre $\in$ étant transitif sur $\alpha$.

(ii) Si $\alpha \in \alpha$, alors $\alpha$ est un élément $x$ de $\alpha$ tel que $x \in x$, ce que l'irréflexivité interdit.

(iii) $\alpha^+$ est transitif (Ensemble transitif). Ses éléments sont ceux de $\alpha$, totalement et bien ordonnés par $\in$, et $\alpha$ lui-même, qui contient tous les autres et ne s'appartient pas par (ii).

Vérifions les quatre conditions. L'irréflexivité vient de (ii) pour $\alpha$, et de l'irréflexivité sur $\alpha$ pour les autres éléments.

Pour la transitivité, soit $x \in y \in z$ dans $\alpha^+$. Si $z = \alpha$, alors $y \in \alpha$ et $x \in \alpha$ par transitivité de l'ensemble $\alpha$. Sinon $z \in \alpha$, puis $y \in \alpha$ et $x \in \alpha$ par transitivité de l'ensemble $\alpha$, et $x \in z$ par transitivité de $\in$ sur $\alpha$.

Pour la totalité, deux éléments de $\alpha$ sont comparables, et tout élément de $\alpha$ appartient à $\alpha$.

Enfin, soit $S$ une partie non vide de $\alpha^+$. Si $S \cap \alpha$ est non vide, soit $m$ son plus petit élément : aucun élément de $S \cap \alpha$ n'appartient à $m$, et $\alpha \notin m$, sinon $\alpha \in m \subset \alpha$ contredirait (ii). Sinon $S = \{\alpha\}$, et $\alpha \notin \alpha$ par (ii).

(iv) Soit $\gamma$ le plus petit élément de $\beta \setminus \alpha$, non vide par hypothèse. Montrons que $\gamma = \alpha$.

Si $x \in \gamma$, alors $x \in \beta$ par transitivité, et $x$ précède $\gamma$, donc $x \notin \beta \setminus \alpha$ par minimalité : $x \in \alpha$.

Réciproquement, si $x \in \alpha$, alors $x \in \beta$ et $x$ est comparable à $\gamma$ dans $\beta$. On ne peut avoir $x = \gamma$, puisque $\gamma \notin \alpha$, ni $\gamma \in x$, sinon $\gamma \in \alpha$ par transitivité de $\alpha$. Donc $x \in \gamma$. Ainsi $\alpha = \gamma \in \beta$.