Définition 1Ordinaux, cardinaux

Ensemble transitif

Énoncé

Un ensemble $x$ est un ensemble transitif si tout élément de $x$ est aussi une partie de $x$ : $y \in x$ entraîne $y \subset x$ . De manière équivalente, $z \in y \in x$ entraîne $z \in x$ .

Pour tout ensemble $x$ , on pose $x^+ = x \cup \{x\}$ . Si $x$ est transitif, $x^+$ l'est aussi.

Démonstration

Soit $y \in x^+$ . Si $y \in x$ , alors $y \subset x \subset x^+$ . Si $y = x$ , alors $y \subset x^+$ par définition.

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Remarque

Les ensembles $\varnothing$ , $\{\varnothing\}$ et $\{\varnothing, \{\varnothing\}\}$ sont transitifs, chacun étant de la forme $x^+$ pour le précédent. L'ensemble $\{\{\varnothing\}\}$ ne l'est pas : son élément $\{\varnothing\}$ contient $\varnothing$ , qui n'est pas élément de $\{\{\varnothing\}\}$ .

Une flèche de

z

vers

y

signifie

z \in y

. À gauche, le chemin

\varnothing \in \{\varnothing\} \in x

est doublé par la flèche directe

\varnothing \in x

, comme l'exige la transitivité ; à droite, cette flèche manque, en rouge, et

\{\{\varnothing\}\}

n'est pas transitif.

Remarque

Le mot « transitif » vient de ce que la relation $\in$ , restreinte à un ensemble transitif $x$ , vérifie $z \in y \in x \Rightarrow z \in x$ . Ce n'est pas la transitivité de $\in$ sur $x$ au sens des relations (Relation), qui demanderait $z \in y$ et $y \in w$ $\Rightarrow$ $z \in w$ pour $z, y, w \in x$ .

Repose sur

Relations, fonctions

Sert à

Ordinal