Les ordinaux sont bien ordonnés

(i) L'ensemble $\alpha \cap \beta$ est transitif, comme intersection de deux ensembles transitifs, et c'est une partie de $\alpha$ ; il est donc bien ordonné par $\in$, et c'est un ordinal.

Si l'on avait à la fois $\alpha \cap \beta \neq \alpha$ et $\alpha \cap \beta \neq \beta$, le point (iv) du nœud Éléments d'un ordinal donnerait $\alpha \cap \beta \in \alpha$ et $\alpha \cap \beta \in \beta$, donc $\alpha \cap \beta \in \alpha \cap \beta$, ce qu'interdit le point (ii).

Donc $\alpha \cap \beta = \alpha$, c'est-à-dire $\alpha \subset \beta$, ou $\alpha \cap \beta = \beta$. Dans le premier cas, $\alpha = \beta$ ou $\alpha \in \beta$, toujours par (iv) ; dans le second, $\beta = \alpha$ ou $\beta \in \alpha$.

Les trois cas s'excluent : $\alpha \in \beta$ et $\beta \in \alpha$ entraîneraient $\alpha \in \alpha$ par transitivité de $\alpha$, et $\alpha \in \beta = \alpha$ est exclu de même. Enfin, si $\alpha \in \beta$, alors $\alpha \subset \beta$ par transitivité de $\beta$ ; la réciproque est (iv).

(ii) Soit $\alpha \in S$. Si aucun élément de $S$ n'appartient à $\alpha$, alors $\alpha$ est le plus petit élément de $S$ par (i). Sinon, $S \cap \alpha$ est une partie non vide de $\alpha$, qui a un plus petit élément $\mu$ ; tout $\beta \in S$ vérifie $\beta \geqslant \alpha > \mu$ ou $\beta \in S \cap \alpha$, donc $\beta \geqslant \mu$.

Par (i), $\mu \subset \beta$ pour tout $\beta \in S$, donc $\mu \subset \bigcap S$, et $\bigcap S \subset \mu$ puisque $\mu \in S$.

(iii) $\bigcup S$ est transitif, comme réunion d'ensembles transitifs ; ses éléments sont des ordinaux par le point (i) du nœud Éléments d'un ordinal, totalement ordonnés par $\in$ d'après (i) ci-dessus, et toute partie non vide en a un plus petit élément d'après (ii). La relation $\in$ y est irréflexive par le point (ii) de Éléments d'un ordinal, et transitive, puisque $x \in y \in z$ donne $x \in z$ par transitivité de l'ensemble $z$. C'est donc un ordinal.

Il contient chaque $\alpha \in S$, d'où $\alpha \leqslant \bigcup S$ ; et si $\gamma \geqslant \alpha$ pour tout $\alpha \in S$, alors $\alpha \subset \gamma$ pour tout $\alpha$, donc $\bigcup S \subset \gamma$.