Proposition 2Ordinaux, cardinaux

Paradoxe de Burali-Forti

Énoncé

Il n'existe pas d'ensemble dont les éléments soient tous les ordinaux. Plus généralement, tout ensemble d'ordinaux $S$ est majoré strictement : l'ordinal $(\sup S)^+$ n'appartient pas à $S$ .

Démonstration

Si $\gamma = (\sup S)^+$ appartenait à $S$ , on aurait $\gamma \leqslant \sup S$ , puisque $\sup S$ majore $S$ (Comparaison des ordinaux, (iii)), et $\sup S < \gamma$ (Éléments d'un ordinal, (iii)), ce qui est impossible. Un ensemble de tous les ordinaux contiendrait en particulier $\gamma$ .

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Remarque

Burali-Forti a rencontré cette difficulté en 1897, avant que la théorie de Zermelo ne la rende inoffensive : comme le paradoxe de Russell, elle montre seulement qu'une certaine collection est trop grosse pour être un ensemble. Les ordinaux forment ce qu'on appelle une classe propre.

Repose sur

Les ordinaux sont bien ordonnés

Sert à

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