Proposition 3Ordinaux, cardinaux

Ordinaux successeurs et ordinaux limites

L'ordinal $\alpha^+$ , noté aussi $\alpha + 1$ , est le successeur de $\alpha$ . Un ordinal non vide qui n'est le successeur d'aucun ordinal est un ordinal limite.

Énoncé

(i) $\alpha^+$ est le plus petit ordinal strictement supérieur à $\alpha$ .

(ii) Tout ordinal est soit $\varnothing$ , soit un successeur, soit un ordinal limite, et un seul de ces cas se produit.

(iii) Un ordinal non vide $\alpha$ est limite si et seulement si $\alpha = \bigcup \alpha$ , c'est-à-dire si $\alpha = \sup\{\beta : \beta < \alpha\}$ .

Démonstration

(i) $\alpha \in \alpha^+$ . Si $\alpha < \gamma$ , alors $\alpha \in \gamma$ et $\alpha \subset \gamma$ , donc $\alpha^+ \subset \gamma$ , c'est-à-dire $\alpha^+ \leqslant \gamma$ (Comparaison des ordinaux).

(ii) Par définition, les trois cas couvrent tout ; $\varnothing$ n'est pas un successeur, puisque $\alpha \in \alpha^+$ , et un ordinal limite n'est ni vide ni successeur.

(iii) Si $\alpha = \beta^+$ , alors $\bigcup \alpha = \bigcup \beta \cup \beta = \beta \neq \alpha,$ car $\bigcup \beta \subset \beta$ par transitivité.

Réciproquement, supposons $\alpha$ limite. On a toujours $\bigcup \alpha \subset \alpha$ , par transitivité. Si $\beta \in \alpha$ , alors $\beta^+ \leqslant \alpha$ par (i), et $\beta^+ \neq \alpha$ puisque $\alpha$ n'est pas un successeur ; donc $\beta^+ \in \alpha$ , et $\beta \in \beta^+$ donne $\beta \in \bigcup \alpha$ .

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Remarque

Rien dans les axiomes utilisés jusqu'ici n'assure l'existence d'un ordinal limite. C'est l'axiome de l'infini qui la fournit : le plus petit ordinal limite sera $\omega$ , l'ensemble des entiers naturels construit au nœud $\mathbb N$ .

Repose sur

Les ordinaux sont bien ordonnés

Sert à

Principe d'induction transfinie