Tout bon ordre est isomorphe à un unique ordinal

(i) Soit $f : \alpha \to \beta$ un isomorphisme d'ordres. Pour $\gamma < \alpha$, les éléments de $\beta$ inférieurs à $f(\gamma)$ sont exactement les $f(\delta)$, $\delta < \gamma$, puisque $f$ est une bijection croissante. Comme un ordinal est l'ensemble de ses prédécesseurs, $$f(\gamma) = \{f(\delta) : \delta < \gamma\}.$$

Si $f(\delta) = \delta$ pour tout $\delta < \gamma$, il vient $f(\gamma) = \gamma$ ; par induction dans le bon ordre $\alpha$, $f$ est l'identité, et $\beta = f(\alpha) = \alpha$.

Si $f$ et $f'$ sont deux isomorphismes de $E$ sur des ordinaux $\alpha$ et $\alpha'$, alors $f' \circ f^{-1}$ est un isomorphisme de $\alpha$ sur $\alpha'$ ; donc $\alpha = \alpha'$ et $f = f'$.

(ii) Pour $x \in E$, notons $E_x = \{y \in E : y < x\}$, comme au nœud Bon ordre. Soit $A$ l'ensemble des $x \in E$ tels que $E_x$ soit isomorphe à un ordinal, nécessairement unique par (i), noté $\alpha_x$.

Si $y < x$ et $x \in A$, l'isomorphisme de $E_x$ sur $\alpha_x$ envoie $E_y$ sur l'ensemble des éléments de $\alpha_x$ inférieurs à son image $f(y)$, c'est-à-dire sur l'ordinal $f(y)$ ; donc $y \in A$ et $\alpha_y = f(y) < \alpha_x$.

Montrons que $A = E$. Sinon, soit $x$ le plus petit élément de $E \setminus A$. Tout $y < x$ appartient à $A$, et par remplacement, $y \mapsto \alpha_y$ est une application de $E_x$ ; elle est strictement croissante d'après ce qui précède.

Son image $\{\alpha_y : y < x\}$ est transitive, puisque tout élément de $\alpha_y$ est de la forme $\alpha_z$ avec $z < y$ ; c'est donc un ensemble transitif d'ordinaux, bien ordonné par $\in$, c'est-à-dire un ordinal. Ainsi $E_x$ est isomorphe à un ordinal, et $x \in A$ : contradiction.

Le même raisonnement, appliqué à $E$ tout entier, montre que $x \mapsto \alpha_x$ est un isomorphisme de $E$ sur un ordinal. L'unicité vient de (i).