Idéaux premiers et maximaux

Notons $\bar x = x + I$ la classe de $x$ dans l'anneau quotient $A/I$ (Anneau quotient). L'anneau $A/I$ est non nul si et seulement si $\bar 1 \neq \bar 0$, c'est-à-dire $1 \notin I$, c'est-à-dire $I \neq A$ (Idéal).

(i) L'égalité $\bar x \bar y = \bar 0$ s'écrit $xy \in I$, et $\bar x = \bar 0$ s'écrit $x \in I$. La condition d'intégrité de $A/I$ est donc mot pour mot celle qui définit un idéal premier.

(ii) Supposons $I$ maximal, et soit $\bar x \neq \bar 0$, c'est-à-dire $x \notin I$. L'idéal $I + xA$ contient $I$ et $x$, donc contient strictement $I$ : il vaut $A$. On écrit $1 = i + xa$ avec $i \in I$, d'où $\bar x \bar a = \bar 1$. Ainsi $A/I$, non nul, est un corps.

Réciproquement, supposons que $A/I$ soit un corps, et soit $J$ un idéal tel que $I \subsetneq J$. Pour $x \in J \setminus I$, on a $\bar x \neq \bar 0$, donc il existe $a$ avec $\bar x \bar a = \bar 1$, soit $xa - 1 \in I \subset J$. Alors $1 = xa - (xa - 1) \in J$, et $J = A$. Comme $A/I$ est non nul, $I \neq A$ : $I$ est maximal.

(iii) Si $I$ est maximal, $A/I$ est un corps par (ii), donc intègre (Corps), et $I$ est premier par (i).