Théorie

Géométrie algébrique ⋆

⋆ Axiome du choix

L'existence d'un idéal maximal dans tout anneau commutatif non nul (théorème de Krull) équivaut à l'axiome du choix (Hodges, 1979) ; les propriétés du spectre d'un anneau quelconque (spectre non vide, radical, quasi-compacité, points fermés) demandent une forme du choix. Pour un anneau de polynômes en un nombre fini d'indéterminées sur un corps et ses quotients, un idéal maximal se construit sans choix, par récurrence sur le nombre d'indéterminées : le Nullstellensatz, sous ses formes faible et forte, et le dictionnaire entre idéaux radicaux et ensembles algébriques sont démontrés dans $\mathsf{ZF}$ .

Elle étudie les lieux de zéros de systèmes de polynômes, puis plus généralement les schémas. Elle repose sur les anneaux de polynômes, construits avec ${\mathbb Z}$ , sur la topologie, et sur l'algèbre linéaire, qui démontre le lemme de Zariski : un corps engendré par un nombre fini d'éléments sur un sous-corps $K$ est de dimension finie sur $K$ . Le spectre d'un anneau commutatif est l'ensemble de ses idéaux premiers, muni de la topologie de Zariski, dont les fermés sont les ensembles $V(I) = \{\mathfrak p : \mathfrak p \supset I\}$ .

Repose sur

Algèbre commutative Structures algébriques Algèbre linéaire ℤ Structures topologiques

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Théorie algébrique des nombres

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