Théorie

Algèbre commutative ⋆

Elle étudie les anneaux commutatifs et leurs idéaux, en prolongeant l'arithmétique de ${\mathbb Z}$ et des polynômes : divisibilité, factorisation unique et ses défaillances, finitude des idéaux. Elle repose sur les structures algébriques, sur $\mathbb Z$ et ses anneaux de polynômes, et sur l'algèbre linéaire, qui sert au lemme de Nakayama et à la réduction des endomorphismes.

Le graphe intérieur démontre qu'un anneau principal est factoriel, que la factorialité passe de $A$ à $A[X]$ (Gauss) et la noethérianité aussi (théorème de la base de Hilbert), puis construit la localisation, qui permet d'étudier un anneau près d'un idéal premier. C'est le socle de la géométrie algébrique et de la théorie algébrique des nombres.

Un chapitre y mène la réduction des endomorphismes en dimension finie, que l'algèbre linéaire ne peut pas traiter faute de polynômes : polynôme minimal, lemme des noyaux, qui est le lemme chinois dans $K[X]$, polynôme caractéristique et théorème de Cayley-Hamilton, diagonalisation et trigonalisation, décomposition de Dunford et forme de Jordan.

Un second chapitre décrit les modules de type fini sur un anneau principal : forme normale de Smith d'une matrice, base adaptée, théorème de structure, facteurs invariants et diviseurs élémentaires. Il en tire la structure des groupes abéliens de type fini, et, pour l'anneau $K[X]$, la forme de Frobenius d'un endomorphisme et un critère de similitude valable sur tout corps.