Localisation

(i) La réflexivité et la symétrie sont claires. Si $u(at - bs) = 0$ et $v(bw - ct) = 0$, multiplions la première égalité par $vw$ et la seconde par $us$ : leur somme donne $uvt\,(aw - cs) = 0$, avec $uvt \in S$. Les opérations sont bien définies : si $u(as' - a's) = 0$, alors $$\begin{aligned} &u\big[(at + bs)s't - (a't + bs')st\big] \\ &\quad = ut^2(as' - a's) = 0, \\ &u\,[ab\,s't - a'b\,st] = ubt\,(as' - a's) = 0, \end{aligned}$$ et de même pour le second argument.

On a $(av)/(sv) = a/s$ pour $v \in S$, puisque $av \cdot s - a \cdot sv = 0$ ; avec cette règle, chaque axiome d'anneau commutatif se ramène à une identité de $A$, comme au nœud Corps des fractions.

L'application $\iota$ respecte somme, produit et $1$, et $(s/1)(1/s) = s/s = 1/1$. Enfin $a/1 = 0/1$ s'écrit $u(a \cdot 1 - 0 \cdot 1) = ua = 0$ pour un $u \in S$, et $S^{-1}A$ est nul si et seulement si $1/1 = 0/1$, c'est-à-dire si $u = 0$ pour un $u \in S$.

(ii) Unicité. Si $g \circ \iota = f$, alors $$\begin{aligned} g(a/s)\,f(s) &= g(a/s)\,g(s/1) \\ &= g(a/1) = f(a), \end{aligned}$$ d'où la formule.

Existence. La formule ne dépend pas du représentant : si $u(at - bs) = 0$, alors $f(u)\big(f(a)f(t) - f(b)f(s)\big) = 0$, et, $f(u)$, $f(s)$, $f(t)$ étant inversibles, $f(a)f(s)^{-1} = f(b)f(t)^{-1}$. Elle respecte les lois, comme on le vérifie en développant, et $g(1/1) = 1$.

(iii) Si $ua = 0$ avec $u \in S$, alors $u \neq 0$ et $a = 0$ par intégrité : $\iota$ est injective. Le morphisme $g$ fourni par (ii) pour l'inclusion de $A$ dans son corps des fractions $K$ est injectif, puisque $g(a/s) = 0$ impose $a = 0$, et son image est l'ensemble des $a/s$ de $K$. Pour $S = A \setminus \{0\}$, la relation $u(at - bs) = 0$ équivaut à $at = bs$, et l'on retrouve la construction de $K$.

(iv) Soit $I = \iota^{-1}(J)$, idéal de $A$. Si $a/s \in J$, alors $a/1 = (s/1)(a/s) \in J$, donc $a \in I$ ; réciproquement, si $a \in I$, $a/s = (1/s)(a/1) \in J$.

Si $\mathfrak q$ est premier, $\mathfrak p = \iota^{-1}(\mathfrak q)$ l'est : $1 \notin \mathfrak p$ puisque $\iota(1) = 1 \notin \mathfrak q$, et $ab \in \mathfrak p$ s'écrit $\iota(a)\iota(b) \in \mathfrak q$. Il ne rencontre pas $S$, car $s \in \mathfrak p$ rendrait $s/1$, inversible, élément de $\mathfrak q$. Et $\mathfrak q = S^{-1}\mathfrak p$ par ce qui précède.

Réciproquement, soit $\mathfrak p$ premier ne rencontrant pas $S$. L'ensemble $S^{-1}\mathfrak p$ est un idéal, comme on le lit sur les formules de (i). Il ne contient pas $1/1$ : $1/1 = a/s$ avec $a \in \mathfrak p$ donnerait $u(s - a) = 0$, soit $us = ua \in \mathfrak p$, alors que $u$ et $s$ sont hors de $\mathfrak p$.

Il est premier : si $(a/s)(b/t) = c/w$ avec $c \in \mathfrak p$, alors $u(abw - cst) = 0$, d'où $uw\,ab = ucst \in \mathfrak p$, puis $ab \in \mathfrak p$, et $a$ ou $b$ est dans $\mathfrak p$.

Enfin $\iota^{-1}(S^{-1}\mathfrak p) = \mathfrak p$ : si $a/1 = c/w$ avec $c \in \mathfrak p$, alors $uwa = uc \in \mathfrak p$, et $a \in \mathfrak p$. Les deux applications sont donc réciproques l'une de l'autre.