Corps des fractions d'un anneau intègre

Équivalence. Réflexivité et symétrie viennent de la commutativité. Si $ad = bc$ et $cf = de$, avec $b, d, f \neq 0$, alors $adf = bcf = bde$, donc $d(af - be) = 0$, et l'intégrité, avec $d \neq 0$, donne $af = be$.

Les opérations sont bien définies. D'abord $bd \neq 0$ par intégrité. Si $ab' = a'b$, alors $$\begin{aligned} (ad + bc)\,b'd &= (ab')\,dd + bb'cd \\ &= (a'b)\,dd + bb'cd \\ &= (a'd + b'c)\,bd, \end{aligned}$$ et $$\begin{aligned} ac \cdot b'd &= (ab')cd \\ &= (a'b)cd = a'c \cdot bd. \end{aligned}$$ Le second argument se traite de même.

Axiomes de corps. On a $(xc)/(yc) = x/y$ pour $c \neq 0$, puisque $xcy = ycx$. Avec cette règle, chaque axiome d'anneau commutatif se ramène à une identité de $A$. Par exemple, pour la distributivité, $$\frac ab\Big(\frac cd + \frac ef\Big) = \frac{a(cf + de)}{bdf},$$ tandis que $$\frac{ac}{bd} + \frac{ae}{bf} = \frac{b(acf + ade)}{b \cdot bdf} = \frac{a(cf + de)}{bdf}.$$

Le neutre additif est $0/1$, le neutre multiplicatif $1/1$, distinct de $0/1$ puisque $1 \cdot 1 \neq 0 \cdot 1$. Si $a/b \neq 0/1$, alors $a \neq 0$, et $b/a$ est son inverse : $(ab)/(ba) = 1/1$.

Plongement. $a/1 + a'/1 = (a + a')/1$, $(a/1)(a'/1) = aa'/1$, et $a/1 = a'/1$ entraîne $a = a'$.