Théorie

ℤ

On munit ${\mathbb N} \times \mathbb N$ de la relation d'équivalence définie par $(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow a + d = b + c$ ; la classe de $(a,b)$ représente $a - b$. Le quotient, muni des opérations induites, est un anneau commutatif intègre, le symétrisé du monoïde $(\mathbb N, +)$ muni de la multiplication induite, dans lequel $\mathbb N$ se plonge par $n \mapsto \overline{(n,0)}$.