Théorie

Groupes finis

Elle étudie les groupes qui n'ont qu'un nombre fini d'éléments. Le théorème de Lagrange contraint les ordres des sous-groupes, et les actions de groupe, en particulier par conjugaison, permettent de compter : l'équation aux classes, puis les théorèmes de Sylow, produisent des sous-groupes distingués à partir de la seule arithmétique de l'ordre. Elle repose sur les structures algébriques, sur ${\mathbb Z}$ et ses quotients, et sur l'algèbre linéaire, qui fournit le groupe symétrique et sa signature.

Le graphe intérieur classe les groupes abéliens finis, puis les vingt-quatre groupes d'ordre au plus $12$ ; un document de référence, téléchargeable depuis le nœud qui les dresse, les décrit un par un. Il montre enfin que tout groupe d'ordre inférieur à $60$ est résoluble, ce qui fait du groupe alterné $\mathfrak A_5$ le plus petit groupe non résoluble.

Un chapitre est consacré au théorème de Jordan-Hölder : les quotients simples successifs d'une suite de composition, les facteurs de composition, ne dépendent pas de la suite, à l'ordre et à isomorphisme près. Il passe par les théorèmes d'isomorphisme, le lemme du papillon de Zassenhaus et le théorème de raffinement de Schreier, démontre que $\mathfrak A_5$ est simple, et caractérise les groupes finis résolubles comme ceux dont les facteurs de composition sont d'ordre premier.