Ordre d'un élément, groupes cycliques

(i) L'application $f : (\mathbb Z, +) \to G$, $k \mapsto x^k$, est un morphisme, d'image $\langle x \rangle$ : les puissances de $x$ forment un sous-groupe, contenu dans tout sous-groupe qui contient $x$. Son noyau est un sous-groupe de $\mathbb Z$, de la forme $d'\mathbb Z$ avec $d' \in \mathbb N$ (Idéaux de ℤ).

Si $\langle x \rangle$ est fini, $f$ n'est pas injective et $d' \geqslant 1$ ; le théorème d'isomorphisme (Théorème d'isomorphisme) donne un isomorphisme $\mathbb Z/d'\mathbb Z \cong \langle x \rangle$, et $\mathbb Z/d'\mathbb Z$ a pour éléments les $d'$ classes $\bar 0, \dots, \overline{d' - 1}$ (ℤ/nℤ) : $d' = d$, et $x^k = e$ si et seulement si $k \in d\mathbb Z$.

Dans un groupe fini, $d$ divise $|G|$ par le théorème de Lagrange (Lagrange), donc $x^{|G|} = e$.

(ii) Si $|G| = p$ est premier et $x \neq e$, l'ordre de $x$ divise $p$ et n'est pas $1$ : il vaut $p$, et $\langle x \rangle = G$.

(iii) Écrivons $n = gn'$ et $k = gk'$ avec $g = n \wedge k$, qui est non nul puisque $n \geqslant 1$. Une relation de Bézout $nu + kv = g$, qui existe par définition de $n \wedge k$, générateur de $n\mathbb Z + k\mathbb Z$ (PGCD, Bézout), divisée par $g$ dans l'anneau intègre $\mathbb Z$, donne $n'u + k'v = 1$, donc $n' \wedge k' = 1$ (même nœud, (ii)).

Par (i), $(x^k)^j = e$ si et seulement si $n \mid kj$, c'est-à-dire $n' \mid k'j$, ou encore $n' \mid j$ par le lemme de Gauss (PGCD, Bézout, (iii)) : l'ordre de $x^k$ est $n' = n/g$.

Il vaut $n$ si et seulement si $g = 1$ ; les générateurs sont les $x^k$, $1 \leqslant k \leqslant n$, avec $k \wedge n = 1$, au nombre de $\varphi(n)$.

Soit $H$ un sous-groupe et $f$ le morphisme de (i) : $f^{-1}(H)$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$ contenant $n\mathbb Z$, donc de la forme $m\mathbb Z$ avec $m \mid n$, et $H = f(m\mathbb Z) = \langle x^m \rangle$, cyclique d'ordre $n/m$, puisque $f$ est surjective.

Réciproquement, pour $d \mid n$, $\langle x^{n/d} \rangle$ est d'ordre $d$, et un sous-groupe d'ordre $d$ est de la forme $\langle x^m \rangle$ avec $n/m = d$ : il est unique.

(iv) Comme $x$ et $y$ commutent, $(xy)^k = x^ky^k$. Si $(xy)^k = e$, alors $x^k = y^{-k}$ appartient à $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle$, sous-groupe dont l'ordre divise $m$ et $n$ par le théorème de Lagrange, donc vaut $1$ : $x^k = y^k = e$, d'où $m \mid k$ et $n \mid k$, puis $mn \mid k$ par le lemme de Gauss. Comme $(xy)^{mn} = e$, l'ordre de $xy$ est $mn$.

Dans $\mathbb Z/m\mathbb Z \times \mathbb Z/n\mathbb Z$, les éléments $(\bar 1, \bar 0)$ et $(\bar 0, \bar 1)$ commutent et sont d'ordres $m$ et $n$ : leur somme $(\bar 1, \bar 1)$ est d'ordre $mn$, égal au cardinal du groupe, qui est donc cyclique, isomorphe à $\mathbb Z/mn\mathbb Z$ par (i).