Théorème 6Groupes finis

Produits directs et semi-directs

Le produit direct $N \times H$ a été défini au nœud Groupes cycliques. Les automorphismes d'un groupe $N$ forment un groupe $\operatorname{Aut}(N)$ pour la composition.

Si $\varphi : H \to \operatorname{Aut}(N)$ est un morphisme, le produit semi-direct $N \rtimes_\varphi H$ est l'ensemble $N \times H$ muni de la loi $(n, h)(n', h') = \big(n\,\varphi(h)(n'),\ hh'\big).$

Pour un anneau $A$ , on note $A^\times$ le groupe de ses éléments inversibles (Groupe, (i)).

Énoncé

(i) $N \rtimes_\varphi H$ est un groupe, de neutre $(e, e)$ ; l'ensemble $N \times \{e\}$ en est un sous-groupe distingué isomorphe à $N$ , $\{e\} \times H$ un sous-groupe isomorphe à $H$ , et $(e, h)(n, e)(e, h)^{-1} = (\varphi(h)(n), e)$ . Pour $\varphi$ constante égale à l'identité, c'est le produit direct.

(ii) Reconnaissance. Soit $G$ un groupe, $N$ un sous-groupe distingué et $H$ un sous-groupe, avec $N \cap H = \{e\}$ et $NH = G$ . Alors $(n, h) \mapsto nh$ est un isomorphisme de $N \rtimes_\varphi H$ sur $G$ , où $\varphi(h)(n) = hnh^{-1}$ . Si de plus $H$ est distingué, $\varphi$ est triviale et $G \cong N \times H$ .

(iii) Transport. Soient $\varphi : H \to \operatorname{Aut}(N)$ et $\varphi' : H' \to \operatorname{Aut}(N')$ deux morphismes, et $\beta : N \to N'$ , $\gamma : H \to H'$ deux isomorphismes tels que $\varphi'(\gamma(h)) = \beta \circ \varphi(h) \circ \beta^{-1}$ pour tout $h \in H$ . Alors $(n, h) \mapsto (\beta(n), \gamma(h))$ est un isomorphisme de $N \rtimes_\varphi H$ sur $N' \rtimes_{\varphi'} H'$ .

En particulier, pour $\alpha \in \operatorname{Aut}(H)$ , les groupes $N \rtimes_\varphi H$ et $N \rtimes_{\varphi \circ \alpha} H$ sont isomorphes.

(iv) Pour $n \geqslant 2$ , $\operatorname{Aut}({\mathbb Z/n\mathbb Z})$ est isomorphe à $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ , un élément $\bar a$ inversible correspondant à $x \mapsto \bar ax$ . Pour $p$ premier, $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/p\mathbb Z)$ a $p - 1$ éléments ; en particulier $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/3\mathbb Z) = \{\mathrm{id}, -\mathrm{id}\}$ .

Démonstration

(i) Associativité : comme $\varphi(h)$ est un morphisme et $\varphi(hh') = \varphi(h) \circ \varphi(h')$ , $\begin{aligned} &\big((n, h)(n', h')\big)(n'', h'') \\ &\quad = \big(n\,\varphi(h)(n')\,\varphi(hh')(n''),\ hh'h''\big) \\ &\quad = (n, h)\big((n', h')(n'', h'')\big). \end{aligned}$ Le neutre est $(e, e)$ , et l'inverse de $(n, h)$ est $\big(\varphi(h^{-1})(n^{-1}), h^{-1}\big)$ , comme on le vérifie en multipliant.

La projection $(n, h) \mapsto h$ est un morphisme de noyau $N \times \{e\}$ , qui est donc distingué (Sous-groupe distingué, (iii)) ; les applications $n \mapsto (n, e)$ et $h \mapsto (e, h)$ sont des morphismes injectifs. Enfin $(e, h)(n, e) = (\varphi(h)(n), h) = (\varphi(h)(n), e)(e, h)$ .

(ii) Comme $N$ est distingué, $\varphi(h)$ est un automorphisme de $N$ , et $h \mapsto \varphi(h)$ un morphisme. Pour $\psi(n, h) = nh$ , $\begin{aligned} \psi\big((n, h)(n', h')\big) &= n\,hn'h^{-1}\,hh' \\ &= nh\,n'h' \\ &= \psi(n, h)\psi(n', h'). \end{aligned}$

Si $nh = e$ , alors $n = h^{-1} \in N \cap H$ , donc $n = h = e$ : $\psi$ est injectif, et surjectif puisque $NH = G$ . Si $H$ est aussi distingué, le commutateur $nhn^{-1}h^{-1}$ appartient à $N \cap H = \{e\}$ , donc $hnh^{-1} = n$ .

(iii) L'application $\theta(n, h) = (\beta(n), \gamma(h))$ est bijective, de réciproque $(n', h') \mapsto (\beta^{-1}(n'), \gamma^{-1}(h'))$ . C'est un morphisme : $\begin{aligned} &\theta(n, h)\,\theta(n', h') \\ &\quad = \big(\beta(n)\,\varphi'(\gamma(h))(\beta(n')), \\ &\qquad\ \gamma(h)\gamma(h')\big) \\ &\quad = \big(\beta(n)\,\beta(\varphi(h)(n')),\ \gamma(hh')\big) \\ &\quad = \theta\big((n, h)(n', h')\big). \end{aligned}$ Pour le cas particulier, on prend $N' = N$ , $\beta = \mathrm{id}$ , $H' = H$ , $\varphi' = \varphi \circ \alpha$ et $\gamma = \alpha^{-1}$ : alors $\varphi'(\gamma(h)) = \varphi(h)$ .

(iv) Un endomorphisme $f$ du groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est déterminé par $\bar a = f(\bar 1)$ , puisque $f(\bar k) = k\,\bar a = \bar a\bar k$ . Il est surjectif si et seulement si $\bar 1$ est atteint, c'est-à-dire si $\bar a\bar b = \bar 1$ pour un $\bar b$ , et alors il est bijectif, l'ensemble étant fini.

L'application $\bar a \mapsto (x \mapsto \bar ax)$ est donc une bijection de $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times$ sur $\operatorname{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ , et un morphisme, la composée de deux multiplications étant la multiplication par le produit. Pour $p$ premier, $\mathbb Z/p\mathbb Z$ est un corps (ℤ/nℤ), et ses $p - 1$ éléments non nuls sont inversibles.

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Remarque

Tout l'intérêt de la construction tient au choix de $\varphi$ , qui dit de combien de manières $H$ peut tordre $N$ . Avec $N = \mathbb Z/3\mathbb Z$ et $H = \mathbb Z/2\mathbb Z$ , il y a deux morphismes $H \to \operatorname{Aut}(N) \cong \{\pm\mathrm{id}\}$ : le trivial, qui donne le groupe cyclique $\mathbb Z/6\mathbb Z$ , et celui qui envoie le générateur sur $-\mathrm{id}$ , qui donne le groupe symétrique $\mathfrak S_3$ , non abélien.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier l'hypothèse « $N$ distingué » dans (ii). Dans $\mathfrak S_3$ , les sous-groupes $H = \langle (1\ 2) \rangle$ et $K = \langle (1\ 3) \rangle$ se coupent trivialement, mais $HK$ n'a que quatre éléments et n'est même pas un sous-groupe : sans sous-groupe distingué, le produit de deux sous-groupes n'a pas de structure.

Repose sur

Ordre d'un élément, groupes cycliques Structures algébriques ℤ

Sert à

Classification des groupes abéliens finis Groupes diédraux et groupe des quaternions