Théorème 9Groupes finis

Groupes diédraux et groupe des quaternions

Pour $n \geqslant 2$ , le morphisme $\iota : \mathbb Z/2\mathbb Z \to \operatorname{Aut}(\mathbb Z/n\mathbb Z)$ qui envoie $\bar 1$ sur $x \mapsto -x$ définit le groupe diédral $\mathcal D_n = \mathbb Z/n\mathbb Z \rtimes_\iota \mathbb Z/2\mathbb Z$ (Produits semi-directs) ; on note $r = (\bar 1, \bar 0)$ et $s = (\bar 0, \bar 1)$ .

Dans le groupe ${GL_2}(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ des matrices inversibles à coefficients dans le corps $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , on pose $\begin{aligned} i &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \\ j &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \\ k &= ij, \end{aligned}$ et l'on note $\mathcal Q_8$ l'ensemble $\{\pm I, \pm i, \pm j, \pm k\}$ .

Énoncé

(i) $\mathcal D_n$ a $2n$ éléments, $r^m$ et $r^ms$ pour $0 \leqslant m < n$ ; $r$ est d'ordre $n$ , $srs^{-1} = r^{-1}$ , et les $r^ms$ sont tous d'ordre $2$ . Le groupe $\mathcal D_n$ est abélien si et seulement si $n = 2$ .

(ii) Reconnaissance. Si un groupe $G$ d'ordre $2n$ contient un élément $x$ d'ordre $n$ et un élément $y \notin \langle x \rangle$ tel que $y^2 = e$ et $yxy^{-1} = x^{-1}$ , alors $G \cong \mathcal D_n$ .

(iii) $\mathcal Q_8$ est un sous-groupe d'ordre $8$ de $GL_2(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ , avec $i^2 = j^2 = k^2 = -I$ , $ji = -ij$ et $jij^{-1} = i^{-1}$ ; $-I$ est son seul élément d'ordre $2$ , et les six autres éléments différents de $I$ sont d'ordre $4$ .

(iv) Reconnaissance. Si un groupe $G$ d'ordre $8$ contient un élément $x$ d'ordre $4$ et un élément $y \notin \langle x \rangle$ tel que $y^2 = x^2$ et $yxy^{-1} = x^{-1}$ , alors $G \cong \mathcal Q_8$ .

Démonstration

(i) L'application $x \mapsto -x$ est un automorphisme involutif de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , et $\iota$ est un morphisme. Par définition du produit, $r^m = (\bar m, \bar 0)$ , $r^ms = (\bar m, \bar 1)$ , et ces $2n$ couples sont tous les éléments.

L'ordre de $r$ est celui de $\bar 1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , soit $n$ . On calcule $\begin{aligned} srs^{-1} &= s\,r\,s \\ &= (\iota(\bar 1)(\bar 1), \bar 1)(\bar 0, \bar 1) \\ &= (-\bar 1, \bar 0) = r^{-1}, \end{aligned}$ et $(r^ms)^2 = (\bar m - \bar m, \bar 0) = (\bar 0, \bar 0)$ .

Si $\mathcal D_n$ est abélien, $r = srs^{-1} = r^{-1}$ , donc $r^2 = e$ et $n \mid 2$ ; pour $n = 2$ , $\iota$ est trivial, $-x = x$ dans $\mathbb Z/2\mathbb Z$ , et le groupe est le produit direct, abélien.

(ii) Le sous-groupe $\langle x \rangle$ , d'indice $2$ , est distingué (Sous-groupe distingué, (iv)).

Le sous-groupe $\{e, y\}$ coupe $\langle x \rangle$ trivialement, et les $2n$ produits $x^my^b$ , $0 \leqslant m < n$ , $b \in \{0, 1\}$ , sont distincts, car $x^my^b = x^{m'}y^{b'}$ entraîne $y^{b - b'} \in \langle x \rangle$ , donc $b = b'$ , puis $m = m'$ : ils forment $G$ .

Par Produits semi-directs, (ii), $G \cong \langle x \rangle \rtimes \{e, y\}$ , où $y$ agit par $x^m \mapsto x^{-m}$ . Les isomorphismes $\bar m \mapsto x^m$ et $\bar b \mapsto y^b$ transportent cette action sur $\iota$ , et $(\bar m, \bar b) \mapsto x^my^b$ est un isomorphisme de $\mathcal D_n$ sur $G$ : il respecte les produits, qui se calculent des deux côtés par la même règle $y^bx^{m'} = x^{(-1)^bm'}y^b$ .

(iii) Dans $\mathbb Z/3\mathbb Z$ , $2 = -1$ . On calcule $i^2 = -I$ et $\begin{aligned} j^2 &= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -I, \\ ij &= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \\ ji &= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = -ij. \end{aligned}$ Par suite $k^2 = ijij = -i^2j^2 = -I$ , $i^{-1} = -i$ , et $jij^{-1} = -ij\,j^{-1} = -i = i^{-1}$ .

Les huit matrices $\pm I, \pm i, \pm j, \pm k$ sont distinctes, comme on le lit sur leurs coefficients.

Les relations $ij = k = -ji$ , $jk = i = -kj$ et $ki = j = -ik$ , qui s'en déduisent, et la centralité de $-I$ montrent que le produit de deux éléments de $\mathcal Q_8$ y est encore ; les inverses aussi, chaque élément $u \neq \pm I$ vérifiant $u^{-1} = -u$ . C'est donc un sous-groupe.

Enfin $(-I)^2 = I$ , et $u^2 = -I \neq I$ pour $u \neq \pm I$ , d'où l'ordre $4$ (Groupes cycliques, (i)).

(iv) Comme en (ii), $\langle x \rangle$ est distingué d'indice $2$ , et les huit produits $x^my^b$ sont distincts et forment $G$ . Leur multiplication est entièrement déterminée par les relations $y\,x^m = x^{-m}\,y$ et $y^2 = x^2$ : $x^my^b \cdot x^{m'}y^{b'} = x^{m + (-1)^bm'}\,y^{b+b'},$ où l'on remplace $y^2$ par $x^2$ si $b + b' = 2$ .

Les éléments $i$ et $j$ de $\mathcal Q_8$ vérifient les mêmes relations, par (iii), et les huit produits $i^mj^b$ sont distincts : l'application $x^my^b \mapsto i^mj^b$ est une bijection qui respecte les produits.

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Remarque

Pour $n \geqslant 3$ , $\mathcal D_n$ est le groupe des isométries du polygone régulier à $n$ côtés, ce qui est admis ici : $r$ est la rotation d'un $n$ -ième de tour, et les $r^ms$ sont les $n$ symétries axiales.

À gauche le pentagone régulier, dont les cinq axes de symétrie passent chacun par un sommet et par le milieu du côté opposé ; à droite l'hexagone, dont les six axes se partagent en deux familles, trois par des sommets opposés et trois par des milieux de côtés opposés. La rotation

r

fait tourner d'un cinquième, puis d'un sixième de tour.

La différence entre les deux figures n'est pas anecdotique : pour $n$ impair, les $n$ symétries sont toutes conjuguées, tandis que pour $n$ pair elles forment deux classes de conjugaison.

Remarque

Le groupe $\mathcal Q_8$ est l'exemple le plus simple d'un groupe dont tous les sous-groupes sont distingués sans qu'il soit abélien : ses sous-groupes sont $\{I\}$ , $\{\pm I\}$ , $\langle i \rangle$ , $\langle j \rangle$ , $\langle k \rangle$ et $\mathcal Q_8$ , et chacun est distingué, les trois sous-groupes d'ordre $4$ étant d'indice $2$ .

On l'écrit aussi $\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ , avec les règles de Hamilton $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ ; la réalisation dans $GL_2(\mathbb Z/3\mathbb Z)$ évite d'avoir à vérifier l'associativité d'une table.

Repose sur

Produits directs et semi-directs Algèbre linéaire

Sert à

Groupes d'ordre p, p², 2p et pq Les cinq groupes d'ordre 8