Proposition 4Algèbre linéaire

Matrices d'une application linéaire

Une matrice à $p$ lignes et $n$ colonnes est une famille $A = (a_{ij})$ de scalaires indexée par $\{1, \dots, p\} \times \{1, \dots, n\}$ ; leur ensemble ${\mathcal M_{p,n}}(K)$ est un espace vectoriel. Le produit de $A \in \mathcal M_{p,n}(K)$ et $B \in \mathcal M_{n,q}(K)$ est la matrice $AB \in \mathcal M_{p,q}(K)$ de coefficients $$\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}.$$

Si $\mathcal B = (e_1, \dots, e_n)$ et $\mathcal C = (f_1, \dots, f_p)$ sont des bases de $E$ et $F$, la matrice de $u \in {\mathcal L}(E, F)$ dans ces bases, notée $\operatorname{Mat}_{\mathcal B, \mathcal C}(u)$, est la matrice dont la $j$-ième colonne contient les coordonnées de $u(e_j)$ dans $\mathcal C$. Pour $u \in \mathcal L(E, E)$, la matrice de $u$ dans la base $\mathcal B$ est $\operatorname{Mat}_{\mathcal B, \mathcal B}(u)$, la même base servant au départ et à l'arrivée.

On identifie $K^n$ à $\mathcal M_{n,1}(K)$, un vecteur étant écrit en colonne, de sorte que $Ax$ a un sens pour $A \in \mathcal M_{p,n}(K)$ et $x \in K^n$.

On note $\mathcal M_n(K) = \mathcal M_{n,n}(K)$, $I_n$ la matrice identité, de coefficients $1$ sur la diagonale et $0$ ailleurs, qui est la matrice de $\mathrm{id}_E$ dans toute base de $E$, et ${}^tA = (a_{ji}) \in \mathcal M_{n,p}(K)$ la transposée de $A \in \mathcal M_{p,n}(K)$.

Une matrice carrée $A = (a_{ij}) \in \mathcal M_n(K)$ est symétrique si ${}^tA = A$, c'est-à-dire si $a_{ij} = a_{ji}$ pour tous $i, j$. Elle est diagonale si $a_{ij} = 0$ pour $i \neq j$, et l'on note alors $A = \operatorname{diag}(a_{11}, \dots, a_{nn})$. Elle est triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ pour $i > j$, et strictement triangulaire supérieure si de plus ses coefficients diagonaux sont nuls.

Plus généralement, si $n = n_1 + \cdots + n_k$ et si $A_i \in \mathcal M_{n_i}(K)$ pour chaque $i$, la matrice diagonale par blocs $\operatorname{diag}(A_1, \dots, A_k) \in \mathcal M_n(K)$ est la matrice dont le bloc formé des lignes et des colonnes d'indices $n_1 + \cdots + n_{i-1} + 1$ à $n_1 + \cdots + n_i$ est $A_i$, pour chaque $i$, tous les autres coefficients étant nuls. Un scalaire étant une matrice de taille $1$, la notation $\operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ d'une matrice diagonale en est le cas particulier où tous les blocs sont de taille $1$.

Une matrice $A \in \mathcal M_n(K)$ est inversible s'il existe $B \in \mathcal M_n(K)$ telle que $AB = BA = I_n$ ; une telle matrice $B$ est unique, c'est l'inverse $A^{-1}$ de $A$. Les matrices inversibles de $\mathcal M_n(K)$ forment, pour le produit, le groupe linéaire $GL_n(K)$ (point (iv)).

Si $\mathcal B$ et $\mathcal B' = (e'_1, \dots, e'_n)$ sont deux bases de $E$, la matrice de passage de $\mathcal B$ à $\mathcal B'$ est $\operatorname{Mat}_{\mathcal B', \mathcal B}(\mathrm{id}_E)$ : sa $j$-ième colonne contient les coordonnées de $e'_j$ dans l'ancienne base $\mathcal B$, qui sert à l'arrivée.

Le rang d'une matrice $A \in \mathcal M_{p,n}(K)$, noté $\operatorname{rg} A$, est la dimension du sous-espace de $K^p$ engendré par ses colonnes $C_1, \dots, C_n$. C'est aussi la dimension de l'image de l'application linéaire $x \mapsto Ax$ de $K^n$ dans $K^p$, puisque $Ax = \sum_j x_j C_j$.