Proposition 1Structures algébriques

Monoïdes et éléments inversibles

Un monoïde est un ensemble muni d'une loi associative possédant un élément neutre $e$ . Un élément $x$ est inversible s'il existe $y$ tel que $xy = yx = e$ . Il est régulier si $xy = xz$ entraîne $y = z$ et $yx = zx$ entraîne $y = z$ .

Énoncé

Soit $M$ un monoïde.

(i) Si $x$ est inversible, l'élément $y$ tel que $xy = yx = e$ est unique ; on le note $x^{-1}$ .

(ii) Le neutre est inversible ; si $x$ est inversible, $x^{-1}$ l'est et $(x^{-1})^{-1} = x$ ; si $x$ et $y$ sont inversibles, $xy$ l'est et $(xy)^{-1} = y^{-1} x^{-1}$ .

(iii) Tout élément inversible est régulier.

Démonstration

(i) Si $xy = yx = e$ et $xy' = y'x = e$ , alors $y = ye = y(xy') = (yx)y' = ey' = y'$ .

(ii) On a $ee = e$ . Les égalités $x x^{-1} = x^{-1} x = e$ disent aussi que $x$ est le symétrique de $x^{-1}$ . Enfin, par associativité, $\begin{aligned} (xy)(y^{-1}x^{-1}) &= x(yy^{-1})x^{-1} \\ &= xex^{-1} = e, \end{aligned}$ et de même $(y^{-1}x^{-1})(xy) = e$ .

(iii) Si $xy = xz$ , on multiplie à gauche par $x^{-1}$ : $\begin{aligned} y &= (x^{-1}x)y = x^{-1}(xy) \\ &= x^{-1}(xz) = z. \end{aligned}$ L'autre condition se traite à droite.

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Remarque

Pour tout ensemble $E$ , l'ensemble $E^E$ des applications de $E$ dans $E$ , muni de la composition, est un monoïde de neutre $\mathrm{id}_E$ . Ses éléments inversibles sont exactement les bijections (Bijection réciproque).

Remarque

Dans ce monoïde $E^E$ , les éléments $f$ simplifiables à gauche, c'est-à-dire tels que $f \circ g = f \circ h$ entraîne $g = h$ , sont exactement les injections. Une injection se simplifie point par point. Réciproquement, si $f(x) = f(y)$ , les applications constantes de valeurs $x$ et $y$ ont la même composée avec $f$ ; elles sont donc égales, et $x = y$ .

Remarque

La réciproque de (iii) est fausse : dans le monoïde $(\mathbb N, +)$ , que construira le nœud $\mathbb N$ , tout élément est régulier, mais seul $0$ est inversible. C'est exactement ce défaut que corrige la symétrisation, plus bas.

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'écrire $(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}$ . L'ordre s'inverse, comme lorsqu'on se déchausse : on retire d'abord la chaussure, puis la chaussette.

Repose sur

Lois de composition interne

Sert à

Groupes Symétrisé d'un monoïde commutatif régulier