Groupes

(i) Par le point (ii) du nœud Monoïde, $M^\times$ contient $e$, est stable par produit et par passage au symétrique. La loi induite est associative, et tout élément de $M^\times$ a son symétrique dans $M^\times$.

(ii) C'est le cas $M = E^E$ de (i), dont les inversibles sont les bijections.

Soient $a$, $b$, $c$ distincts dans $E$, et $\tau_{ab}$ la bijection qui échange $a$ et $b$ et fixe tout autre point ; de même pour $\tau_{bc}$. Alors $(\tau_{ab} \circ \tau_{bc})(c) = \tau_{ab}(b) = a$, tandis que $(\tau_{bc} \circ \tau_{ab})(c) = \tau_{bc}(c) = b$. Comme $a \neq b$, les deux composées diffèrent.

(iii) $x = a^{-1}b$ convient, puisque $a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = b$. Si $ax = b = ax'$, la régularité de $a$ donne $x = x'$.

(iv) Conjugaison. La bijection $g \circ \tau_{xy} \circ g^{-1}$ envoie $g(x)$ sur $g(y)$ et $g(y)$ sur $g(x)$, et fixe $g(z)$ pour tout $z \notin \{x, y\}$ ; comme tout point de $E$ s'écrit $g(z)$, c'est $\tau_{g(x)g(y)}$.

Les bijections de $\{a, b, c\}$. Une bijection qui fixe $a$ laisse $\{b, c\}$ stable et y induit l'identité ou l'échange : c'est $\mathrm{id}$ ou $\tau_{bc}$, et de même si elle fixe $b$ ou $c$. Une bijection $h$ qui ne fixe aucun point envoie $a$ sur $b$ ou sur $c$. Si $h(a) = b$, alors $h(b)$ n'est ni $b$ ni $a$, sans quoi $c$ serait fixé ; donc $h(b) = c$ et $h(c) = a$. Si $h(a) = c$, de même $h(c) = b$ et $h(b) = a$. Ces deux bijections sont $\rho$ et $\rho \circ \rho$, puisque $$\begin{aligned} \rho &: a \mapsto b,\ b \mapsto \tau_{ab}(c) = c, \\ &\quad\ c \mapsto \tau_{ab}(b) = a, \\ \rho \circ \rho &: a \mapsto \rho(b) = c,\ b \mapsto \rho(c) = a, \\ &\quad\ c \mapsto \rho(a) = b. \end{aligned}$$ La bijection $\tau_{bc} \circ \tau_{ab}$ envoie aussi $a$ sur $\tau_{bc}(b) = c$, $b$ sur $\tau_{bc}(a) = a$ et $c$ sur $\tau_{bc}(c) = b$ : c'est $\rho \circ \rho$. Enfin, $\rho \circ \rho \circ \rho$ envoie $a$ sur $\rho(c) = a$, $b$ sur $\rho(a) = b$ et $c$ sur $\rho(b) = c$ : c'est l'identité.

Produits. Deux échanges distincts de $\{a, b, c\}$ ont un point commun et un seul, puisque chacun déplace deux des trois points et qu'ils ne déplacent pas la même paire ; ils s'écrivent donc $\tau_{uv}$ et $\tau_{vw}$, avec $u$, $v$, $w$ distincts ; $\tau_{uv} \circ \tau_{vw}$ envoie $w$ sur $u$, $u$ sur $v$ et $v$ sur $w$, et ne fixe aucun point : c'est $\rho$ ou $\rho \circ \rho$. Les composées d'éléments de $\{\mathrm{id}, \rho, \rho \circ \rho\}$ y restent, puisque $\rho \circ \rho \circ \rho = \mathrm{id}$, et la réciproque de $\rho$ est $\rho \circ \rho$. Soit $\tau$ un échange et $\alpha \in \{\rho, \rho \circ \rho\}$. Si $\tau \circ \alpha$ appartenait à $\{\mathrm{id}, \rho, \rho \circ \rho\}$, l'échange $\tau = (\tau \circ \alpha) \circ \alpha^{-1}$ y appartiendrait aussi ; donc $\tau \circ \alpha$ est un échange, et de même $\alpha \circ \tau$.