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Définition 1Structures algébriques

Lois de composition interne

Énoncé

Une loi de composition interne sur un ensemble EE est une application E×E→EE \times E \to E, notée (x,y)↦x∗y(x, y) \mapsto x \ast y. Elle est associative si (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) pour tous x,y,zx, y, z, et commutative si x∗y=y∗xx \ast y = y \ast x pour tous x,yx, y.

Un élément neutre est un e∈Ee \in E tel que e∗x=x∗e=xe \ast x = x \ast e = x pour tout x∈Ex \in E. Une partie F⊂EF \subset E est stable si x∗y∈Fx \ast y \in F pour tous x,y∈Fx, y \in F ; la loi induit alors une loi sur FF, par restriction à F×FF \times F.

Démonstration

Unicité du neutre. Si ee et e′e' sont neutres, alors e=e∗e′e = e \ast e', puisque e′e' est neutre, et e∗e′=e′e \ast e' = e', puisque ee est neutre. Donc e=e′e = e'.

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Remarque

On note le plus souvent la loi multiplicativement, xyxy au lieu de x∗yx \ast y, et l'on note 11 ou ee le neutre. La notation additive x+yx + y, de neutre 00, est réservée aux lois commutatives.

Remarque

L'associativité ne porte que sur trois éléments. Qu'un produit d'un nombre quelconque de facteurs ne dépende pas du parenthésage est un théorème, qui demande de savoir compter les facteurs ; il viendra avec ℕ\mathbb N. D'ici là, les énoncés de ce graphe ne font intervenir que des produits explicitement parenthésés.

Repose sur

Relations, fonctions

Sert à

Monoïdes et éléments inversibles
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