Théorie

Structures algébriques

Ce sont les ensembles munis de lois de composition $E \times E \to E$ soumises à des axiomes : groupes, anneaux, corps, modules.

Les groupes quotients et les quotients d'un anneau par un idéal sont l'outil commun de toutes ces théories. Le symétrisé d'un monoïde et le corps des fractions d'un anneau intègre y sont construits en toute généralité, avant même les entiers.

Remarque

Le passage au quotient par un sous-groupe distingué ou par un idéal fournit les constructions de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ , de $\mathbb C = \mathbb R[X]/(X^2+1)$ et, plus généralement, des extensions de corps.

Repose sur

Relations, fonctions

Sert à

ℤ Groupes finis Algèbre commutative Groupes topologiques Topologie algébrique Géométrie algébrique Algèbre linéaire

Contenu : Structures algébriques

Définition 1Lois de composition interne
Proposition 1Monoïdes et éléments inversibles
Proposition 2Groupes
Proposition 3Sous-groupes
Proposition 6Anneaux
Proposition 4Morphismes de groupes
Définition 2Morphismes d'anneaux, sous-anneaux
Proposition 5Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués
Théorème 1Groupe quotient
Théorème 3Un groupe est en bijection avec H × G/H
Proposition 7Idéaux d'un anneau commutatif
Théorème 2Factorisation et premier théorème d'isomorphisme
Définition 3Modules sur un anneau commutatif
Théorème 5Symétrisé d'un monoïde commutatif régulier
Proposition 8Corps
Théorème 4Anneau quotient et théorème d'isomorphisme
Théorème 6Corps des fractions d'un anneau intègre
Proposition 9Idéaux premiers et maximaux

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