Théorie

Topologie algébrique

Elle associe à tout espace topologique des invariants algébriques : groupe fondamental, groupes d'homologie. Deux espaces homéomorphes ont des invariants isomorphes, de sorte que des invariants distincts prouvent que deux espaces ne sont pas homéomorphes.

Les chemins et les homotopies sont paramétrés par le segment $[0,1]$, dont l'analyse réelle établit qu'il est compact et connexe : c'est ce qui permet de les découper en un nombre fini de morceaux. Le premier résultat, ${\pi_1}({S^1}) \cong {\mathbb Z}$, fait apparaître les entiers comme invariant topologique.

Un chapitre est consacré au théorème de Seifert-van Kampen, qui calcule le groupe fondamental d'une réunion de deux ouverts comme un produit amalgamé. Il construit les groupes libres, par les mots réduits, les présentations par générateurs et relations, le produit libre et le produit amalgamé, puis démontre le théorème en découpant les lacets et les homotopies par le nombre de Lebesgue. Il en tire que les sphères $S^n$ sont simplement connexes pour $n \geqslant 2$, que le groupe fondamental du bouquet de deux cercles est libre à deux générateurs, et que celui du tore est $\mathbb Z^2$.

Un second chapitre classe les revêtements : pour une base connexe, localement connexe par arcs et semi-localement simplement connexe, les revêtements connexes pointés correspondent, à isomorphisme près, aux sous-groupes du groupe fondamental, le revêtement universel au sous-groupe trivial et les revêtements galoisiens aux sous-groupes distingués. Il en tire que le groupe fondamental des espaces projectifs réels $\mathbb RP^n$, pour $n \geqslant 2$, est $\mathbb Z/2\mathbb Z$.