Définition 1Topologie algébrique

Revêtements, unicité des relèvements

Un revêtement est une application continue et surjective $p : E \to B$ telle que tout point de $B$ ait un voisinage ouvert $U$ uniformément couvert : $p^{-1}(U)$ est réunion d'ouverts deux à deux disjoints, les feuillets, dont chacun est envoyé homéomorphiquement sur $U$ par $p$ .

Si $f : Y \to B$ est continue, un relèvement de $f$ est une application continue $\tilde f : Y \to E$ telle que $p \circ \tilde f = f$ .

Énoncé

Soit $p : E \to B$ un revêtement. Deux relèvements d'une même application, définie sur un espace connexe, qui coïncident en un point, sont égaux.

Démonstration

Soient $\tilde f$ et $\tilde f'$ deux relèvements de $f : Y \to B$ , et $A$ l'ensemble où ils coïncident. Pour $y \in Y$ , soit $U$ un voisinage uniformément couvert de $f(y)$ , et $V$ , $V'$ les feuillets contenant $\tilde f(y)$ et $\tilde f'(y)$ . Considérons l'ouvert $W = \tilde f^{-1}(V) \cap \tilde f'^{-1}(V'),$ qui contient $y$ . Si $y \in A$ , alors $V = V'$ , et sur $W$ les deux relèvements coïncident, car ils ont même image par $p$ et $p$ est injective sur $V$ : $W \subset A$ . Si $y \notin A$ , alors $V \neq V'$ , puisque $p$ est injective sur un feuillet, et ils diffèrent en tout point de $W$ , les feuillets étant disjoints : $W \subset Y \setminus A$ .

Donc $A$ et son complémentaire sont ouverts ; $A$ est non vide et $Y$ connexe, donc $A = Y$ (Connexité).

□

Remarque

Être un homéomorphisme local surjectif ne suffit pas. Le nœud sur le cercle montrera que la projection $p : \mathbb R \to \mathbb R/\mathbb Z$ est un revêtement ; sa restriction à l'intervalle $]0, \frac32[$ reste continue, surjective et localement homéomorphe, mais n'en est pas un.

Au-dessus d'un petit voisinage $U$ de $p(0) = p(1)$ , l'image réciproque est formée de $]1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon[$ , envoyé sur $U$ , et de $]0, \varepsilon[$ , qui n'en recouvre que la moitié.

Cela ne suffit pas encore : il faut voir qu'aucun voisinage de $p(0)$ n'est uniformément couvert, quelle que soit la décomposition choisie. Au-dessus d'un ouvert $U$ uniformément couvert, chaque point a exactement un antécédent dans chaque feuillet, donc autant d'antécédents qu'il y a de feuillets, et ce nombre ne dépend pas du point.

Or, pour $0 < \eta < \frac12$ , le point $p(\eta)$ a deux antécédents dans $]0, \frac32[$ , $\eta$ et $1 + \eta$ , tandis que $p(-\eta) = p(1 - \eta)$ n'en a qu'un, $1 - \eta$ . Tout voisinage de $p(0)$ contient ces deux points pour $\eta$ assez petit, par continuité de $p$ en $0$ : aucun n'est uniformément couvert.

En haut, l'intervalle

]0, \frac32[

; en bas, le cercle

\mathbb R/\mathbb Z

, et l'arc

U

, en bleu, autour de

p(0)

, pour

\varepsilon = 0{,}15

. Le morceau bleu

]1 - \varepsilon, 1 + \varepsilon[

recouvre tout l'arc, mais le morceau rouge

]0, \varepsilon[

n'en recouvre que la moitié supérieure, en rouge : l'image réciproque de

U

n'est pas une réunion de feuillets.

Remarque

L'unicité, contrairement à l'existence des relèvements, ne demande aucune compacité : elle repose uniquement sur la connexité de l'espace de départ et sur le fait que les feuillets sont des ouverts disjoints.

Repose sur

Structures topologiques

Sert à

Relèvement des chemins