Caractérisations de la connexité

(a) ⇔ (b). Si $U$ est ouvert et fermé, distinct de $\varnothing$ et de $X$, alors $U$ et $X \setminus U$ sont deux ouverts disjoints non vides de réunion $X$. Réciproquement, si $X = U \cup V$ avec $U, V$ ouverts disjoints non vides, alors $U = X \setminus V$ est aussi fermé.

(b) ⇔ (c). Si $f : X \to \{0,1\}$ est continue, $f^{-1}(\{0\})$ est ouvert et fermé, donc vide ou égal à $X$ : $f$ est constante.

Réciproquement, si $U$ est ouvert et fermé, sa fonction indicatrice est continue, les images réciproques des quatre parties de $\{0,1\}$ étant $\varnothing$, $X \setminus U$, $U$ et $X$ ; elle est constante, donc $U = \varnothing$ ou $U = X$.