Relèvement des chemins

Lemme de Lebesgue. Soit $K = I$ ou $I \times I$, muni de la distance $$d_\infty(u, v) = \max_k |u_k - v_k|,$$ qui définit la topologie produit (L'espace ℝⁿ, (i)) ; $K$ est fermé et borné, donc compact (L'espace ℝⁿ, (iii)).

Par le lemme du nombre de Lebesgue (Nombre de Lebesgue), pour tout recouvrement ouvert de $K$, il existe $\eta > 0$ tel que toute partie non vide de $K$ de diamètre $< \eta$ soit contenue dans un ouvert du recouvrement.

Existence. Par le lemme de Lebesgue, appliqué aux images réciproques par $\gamma$ des ouverts uniformément couverts, il existe une subdivision $0 = s_0 < s_1 < \cdots < s_m = 1$ telle que chaque $\gamma([s_k, s_{k+1}])$ soit contenu dans un ouvert uniformément couvert $U_k$.

Supposons $\tilde\gamma$ construit sur $[0, s_k]$ ; soit $V_k$ le feuillet au-dessus de $U_k$ contenant $\tilde\gamma(s_k)$ ; on pose $$\tilde\gamma = (p|_{V_k})^{-1} \circ \gamma$$ sur $[s_k, s_{k+1}]$. Le recollement de ces morceaux est continu (Chemins).

Unicité. Elle vient du nœud Revêtements, $I$ étant connexe.