ℝⁿ : topologie produit, complétude, compacts

(i) Par l'encadrement $d_\infty \leqslant d_2 \leqslant d_1 \leqslant n\, d_\infty$ (Espaces métriques, (ii)) et le nœud Topologie d'une distance, (v), il suffit de traiter $d_\infty$.

La boule $B_\infty(a, r)$ est le produit $\prod_i\, ]a_i - r, a_i + r[$, qui est un ouvert de la topologie produit.

Réciproquement, soit $\prod_i U_i$ un produit d'ouverts de $\mathbb R$ contenant $a$ : chaque $U_i$ contient un intervalle $]a_i - r_i, a_i + r_i[$ (Ouverts de ℝ), et $B_\infty(a, \min_i r_i) \subset \prod_i U_i$. Les produits d'ouverts formant une base de la topologie produit, les deux topologies ont les mêmes ouverts.

Enfin $d_\infty(x_k, x) < \varepsilon$ équivaut à $|x_{k, i} - x_i| < \varepsilon$ pour chacun des $n$ indices $i$, et un nombre fini de rangs se remplace par le plus grand.

(ii) Si $(x_k)$ est de Cauchy pour $d_\infty$, chaque suite de coordonnées l'est dans $\mathbb R$, puisque $|x_{p, i} - x_{q, i}| \leqslant d_\infty(x_p, x_q)$, et converge (Complétude de ℝ) ; la suite converge alors par (i). Les deux autres distances ont les mêmes suites de Cauchy et les mêmes suites convergentes (Espaces complets, (iv)).

(iii) Soit $K$ compacte. Elle est fermée, comme partie compacte de l'espace séparé $\mathbb R^n$ (Parties compactes, (ii)). Les boules $B_\infty(0, k)$, pour les entiers $k \geqslant 1$, recouvrent $\mathbb R^n$ par la propriété d'Archimède ; un nombre fini d'entre elles recouvre $K$, qui est donc contenue dans la plus grande.

Réciproquement, soit $K$ fermée et bornée, contenue dans une boule $B_\infty(a, r)$, donc dans le pavé $P = [-R, R]^n$ avec $R = d_\infty(0, a) + r$.

Ce pavé est compact pour la topologie produit, comme produit fini de segments (Borel-Lebesgue, Produit fini de compacts), et cette topologie est celle que $\mathbb R^n$ induit sur $P$, comme on l'a vu pour $[-1, 1]^{n+1}$ au nœud Sphère unité Sⁿ.

Enfin $K = K \cap P$ est fermée dans $P$, donc compacte (Parties compactes, (i)), la topologie que $P$ induit sur $K$ étant celle que $\mathbb R^n$ induit.