La sphère unité

(i) Soit $W$ un ouvert de $\mathbb R$ et $(a, b)$ un point de son image réciproque par la multiplication, de sorte que $ab \in W$ ; l'ouvert $W$ contient une boule $]ab - \varepsilon, ab + \varepsilon[$. Posons $$\delta = \min\Big(1, \frac{\varepsilon}{|a| + |b| + 1}\Big).$$

Si $|x - a| < \delta$ et $|y - b| < \delta$, alors $|x| < |a| + 1$ et $$\begin{aligned} |xy - ab| &= |x(y - b) + b(x - a)| \\ &\leqslant |x|\,\delta + |b|\,\delta \\ &< (|a| + |b| + 1)\,\delta \leqslant \varepsilon. \end{aligned}$$

Le cylindre ouvert $]a - \delta, a + \delta[ \times ]b - \delta, b + \delta[$ est donc inclus dans l'image réciproque de $W$ par la multiplication : cette image réciproque est voisinage de chacun de ses points, donc ouverte (Voisinages).

Pour l'addition, $\delta = \frac\varepsilon2$ convient, puisque $|(x + y) - (a + b)| \leqslant |x - a| + |y - b|$.

Une fonction polynomiale de $\mathbb R^{n+1}$ dans $\mathbb R$ s'obtient à partir des projections $p_i$, continues (Topologie produit), et des fonctions constantes, par sommes et produits.

Si $f, g : \mathbb R^{n+1} \to \mathbb R$ sont continues, l'application $(f, g)$ à valeurs dans $\mathbb R^2$ l'est, ses deux composantes l'étant (Topologie produit), et $f + g$, $fg$ sont ses composées par l'addition et la multiplication (Applications continues, (iii)). Une récurrence sur la construction conclut.

(ii) La fonction $q(x) = x_1^2 + \cdots + x_{n+1}^2$ est continue par (i), et le singleton $\{1\}$ est fermé dans l'espace séparé $\mathbb R$ (Espaces séparés, (i)). Donc $S^n = q^{-1}(\{1\})$ est fermée (Applications continues, (i)).

Si $x \in S^n$, chaque $x_i^2$ est au plus $1$, donc $|x_i| \leqslant 1$ : la sphère est incluse dans le pavé $P = [-1, 1]^{n+1}$. Ce pavé, muni de la topologie produit des topologies de ses facteurs, est compact, comme produit fini de segments compacts (Borel-Lebesgue ; Produit fini de compacts).

Cette topologie est celle que $\mathbb R^{n+1}$ induit sur $P$, car les cylindres ouverts de $P$ sont les traces $$\begin{aligned} &\Big(\prod_i O_i\Big) \cap P \\ &\quad = \prod_i (O_i \cap [-1, 1]) \end{aligned}$$ des cylindres ouverts de $\mathbb R^{n+1}$, et les uns comme les autres forment une base.

Enfin $S^n = S^n \cap P$ est fermée dans $P$, donc compacte (Parties compactes, (i)).

(iii) Les singletons $\{-1\} = S^0 \,\cap\, ]{-2}, 0[$ et $\{1\} = S^0 \,\cap\, ]0, 2[$ sont deux ouverts de $S^0$, disjoints, non vides, de réunion $S^0$.