Le groupe fondamental du cercle est ℤ

(i) $p$ est continue (Topologie quotient). Elle est ouverte : pour $V$ ouvert, $$p^{-1}(p(V)) = \bigcup_{k \in \mathbb Z} (V + k)$$ est ouvert, les translations de $\mathbb R$ étant des homéomorphismes.

Pour $x \in \mathbb R$, soit $J = \,]x - \frac12, x + \frac12[$ et $U = p(J)$, ouvert. Alors $p^{-1}(U)$ est la réunion des intervalles $J + k$, deux à deux disjoints. Sur chacun, $p$ est continue, ouverte, surjective sur $U$, et injective, puisque deux points d'un intervalle ouvert de longueur $1$ qui diffèrent d'un entier sont égaux : c'est un homéomorphisme sur $U$.

(ii) $\tilde\gamma(1)$ appartient à $p^{-1}(p(0)) = \mathbb Z$, et ne dépend que de la classe de $\gamma$ par le relèvement des homotopies (Relèvement des homotopies).

Morphisme. Si $m = \deg\gamma$, l'application $s \mapsto m + \tilde\delta(s)$ relève $\delta$ à partir de $m$, puisque $p(m + y) = p(y)$ ; le relèvement de $\gamma \cdot \delta$ issu de $0$ parcourt donc $\tilde\gamma$, puis $m + \tilde\delta$, et se termine en $m + \deg\delta$.

Surjectivité. Pour $n \in \mathbb Z$, le lacet $s \mapsto p(ns)$ a pour relèvement $s \mapsto ns$, de degré $n$.

Injectivité. Si $\deg\gamma = 0$, $\tilde\gamma$ est un lacet de $\mathbb R$ en $0$ ; $\mathbb R$ est simplement connexe (Simple connexité), donc $\tilde\gamma \simeq c_0$ par une homotopie $G$, et $p \circ G$ est une homotopie de $\gamma$ à $c_{p(0)}$.