Corollaire 1Topologie algébrique

Premières conséquences

Énoncé

(i) Le cercle n'est pas simplement connexe ; il n'est homéomorphe à aucune partie convexe de ${\mathbb R^n}$ .

(ii) Il n'existe pas d'« angle continu » : aucune application continue $\sigma : {S^1} \to {\mathbb R}$ ne vérifie $p \circ \sigma = \mathrm{id}_{S^1}$ .

Démonstration

(i) ${\pi_1}(S^1) \cong {\mathbb Z}$ n'est pas trivial (Groupe fondamental du cercle), alors que les convexes sont simplement connexes ; un homéomorphisme induirait un isomorphisme (Fonctorialité).

(ii) Sinon, en notant $x = p(0)$ et $y = \sigma(x)$ , on aurait $\mathrm{id} = (p \circ \sigma)_* = p_* \circ \sigma_*$ sur $\pi_1(S^1, x)$ . Or $\sigma_*$ est à valeurs dans $\pi_1(\mathbb R, y)$ , qui est trivial : l'identité de $\mathbb Z$ serait nulle, ce qui est absurde.

□

Remarque

Le point (ii) explique une difficulté rencontrée en analyse complexe : on ne peut pas définir l'argument d'un nombre complexe de façon continue sur tout le cercle. Il faut couper le plan, ou accepter un argument défini à un multiple de $2\pi$ près.

Remarque

Avec quelques outils de plus, les mêmes idées donnent le théorème du point fixe de Brouwer en dimension $2$ , puis, par l'homologie, l'invariance du domaine et le fait que $\mathbb R^m$ et $\mathbb R^n$ ne sont pas homéomorphes pour $m \neq n$ .

Remarque

Le chapitre Seifert-van Kampen calcule d'autres groupes fondamentaux en recollant des ouverts : les sphères $S^n$ sont simplement connexes pour $n \geqslant 2$ , le bouquet de deux cercles a pour groupe fondamental le groupe libre à deux générateurs, et le tore $S^1 \times S^1$ a pour groupe fondamental $\mathbb Z^2$ .

Repose sur

Le groupe fondamental du cercle est ℤ Fonctorialité et changement de point de base

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.