Définition 2Structures topologiques

Homéomorphismes

Énoncé

Un homéomorphisme est une bijection continue $f : X \to Y$ dont la réciproque est continue. Deux espaces sont homéomorphes s'il existe un homéomorphisme de l'un sur l'autre ; les propriétés qui se transportent par homéomorphisme, de l'un à tout espace qui lui est homéomorphe, sont dites topologiques.

Remarque

Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme. Si $X$ a au moins deux points, l'identité de $X$ muni de la topologie discrète vers $X$ muni de la topologie grossière est continue et bijective. Sa réciproque, l'identité de $X$ grossier vers $X$ discret, n'est pas continue : l'image réciproque de l'ouvert $\{x\}$ est $\{x\}$ , qui n'est pas ouvert pour la topologie grossière.

Remarque

Le théorème sur les bijections continues entre compacts donne une condition simple pour que le cas favorable se produise.

Repose sur

Continuité

Sert à

Bijections continues entre compacts