Corollaire 1Structures topologiques

Bijections continues entre compacts

Énoncé

Soit $K$ compact, $Y$ séparé et $f : K \to Y$ une bijection continue. Alors $f$ est un homéomorphisme.

Démonstration

Montrons que $f^{-1}$ est continue, c'est-à-dire que l'image réciproque par $f^{-1}$ de tout fermé $F$ de $K$ , qui est $f(F)$ , est fermée dans $Y$ . Or, par la proposition sur les parties compactes (Parties compactes), $F$ est compact par le point (i), $f(F)$ est compact par le point (iii), donc fermé dans le séparé $Y$ par le point (ii).

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Remarque

C'est ainsi que l'on prouve que le segment $[0, 1]$ dont on identifie les extrémités est homéomorphe au cercle : l'application induite par $t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ , que l'analyse réelle construira (Paramétrage du cercle), est une bijection continue du quotient sur le cercle, séparé. Ce quotient est compact : il est quasi-compact comme image continue du segment $[0, 1]$ , que l'analyse réelle montrera compact (l'argument du point (iii) des parties compactes n'emploie pas la séparation de l'arrivée), et il est séparé, puisqu'il s'injecte continûment dans le cercle séparé : les images réciproques de voisinages disjoints de deux points du cercle sont des voisinages disjoints de leurs antécédents.

Repose sur

Compacts, fermés et images Homéomorphismes

Sert à

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